X1,X2,…,Xn为总体X的一个样本 （1） 求θ的矩估计量；
?). （2） 求D(?【解】(1) E(X)??????xf(x)dx??6x20?3(??x)dx??2,
令 EX?X??2,
??2X. 所以θ的矩估计量 ??)?D(2X)?4D(X)?(2)D(?又
4DX,， n?E(X)??于是
26x3(??x)0?36?23?2dx??,
20103?2?2?2D(X)?E(X)?(EX)???,,
1042022所以
?)??. D(?5n13.设某种电子元件的使用寿命X的概率密度函数为
2?2e?2(x??), x??;f(x,θ)= ?
0,x??.?其中θ(θ>0)为未知参数，又设x1,x2,…,xn是总体X的一组样本观察值，求θ的极大似然估
计值.
【解】似然函数
??2(xi??)?2n?e?i?1L?L(?)???0?ni?1nxi?0;i?1,2,?,n;其他.
lnL?nln2?2?(xi??),xi??;i?1,2,?,n,dlnL?2n?0知lnL(?)?, d???min{x}时lnL(??)?maxlnL(?) 那么当?由
1?i?ni??0??min{x} 所以θ的极大似然估计量?i1?i?n14. 设总体X的概率分布为 X P 0 1 2 3 θ2 2θ(1-θ) θ2 1-2θ 其中θ(0<θ<
1)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩2估计值和极大似然估计值. 【解】
??3?x(1)E(X)?3?4?,令E(X)?x得?4 8xi又 x???2i?18??所以θ的矩估计值?83?x1?. 446i（2） 似然函数L??P(x,?)?4?i?1(1??2)(1?2?)4.
lnL?ln4?6ln??2ln(1??)?4ln(1??), dlnL6286?28??24?2?????0,d??1??1?2??(1??)(1?2?)解6?28??24??0
得 ?1,2?27?13. 2由于
7?131?, 122??7?13. 所以θ的极大似然估计值为 ?215.设总体X的分布函数为
????1??,x??,F（x,β）=? x?0,x??.?其中未知参数β>1,α>0，设X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本
（1） 当α=1时，求β的矩估计量；
（2） 当α=1时，求β的极大似然估计量； （3） 当β=2时，求α的极大似然估计量. 【解】
??,x?1;?当α=1时，f(x,?)?Fx1(x,1,?)??x??1
?x?1.?0,?2?2,x??;?当β=2时, f(x,?)?Fx1(x,?,2)??x3
?0,x??.?(1) E(X)?????x?1dx??1??x1????1????1
??令E(X)?X,于是?X, X?1X. X?1??所以?的矩估计量?(2) 似然函数
L?L(?)??i?1n?n?n?(??1)????xi?,xi?1,(i?1,2,?,n);f(xi,?)????i?1??0,其他.?nlnL?nln??(??1)?lnxi,i?1
dlnLnn???lnxi?0,d??i?1??所以?的极大似然估计量?n.
i?lnxi?1n(3) 似然函数
nL??i?1?2n?2n,xi??,(i?1,2,?,n);?n3??? f(xi,?)????xi???i?1??0,其他.?显然L?L(?)?,
??min{xi}时,L?L(??)?maxL(?) , 那么当?1?i?na?0??min{xi}. 所以?的极大似然估计量?1?i?n16.从正态总体X~N（3.4，62）中抽取容量为n的样本，如果其样本均值位于区间（1.4，5.4）
内的概率不小于0.95，问n至少应取多大？
?(z)??z ??z??1.28 0.9 z??1?t2/2edt 2π1.96 0.975 2.33 0.99 1.645 0.95 X?3.4?62?【解】X~N?3.4,?,则Z?~N(0,1),
6/nn??5.4?3.4??1.4?3.4?Z?P{1.4?X?5.4}?P??6/n6/n?????P??n?Z?n?
3??3?????????n?????n??2??n??1?0.95?3??3??3?于是??n?n?则?1.96, ?0.975?3?3?∴ n≥35.
17. 设总体X的概率密度为
??,?f(x，θ)=?1??,?0,?0?x?1,1?x?2, 其他.其中θ是未知参数（0<θ<1）,X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1,x2,…,xn中小于1的个数.求： （1） θ的矩估计；
（2） θ的最大似然估计. 解 (1) 由于
EX??????xf(x;?)dx???xdx??(1-?)xdx
0112133???(1??)???. 22233???X，解得???X， 22所以参数?的矩估计为
令
???(2) 似然函数为
3?X. 2L(?)??f(xi;?)??N(1??)n?N，
i?1n取对数，得
lnL(?)?Nln??(n?N)ln(1??),
两边对?求导，得
dlnL(?)Nn?N??. d??1??dlnL(?)N?0,得 ??， 令
d?n所以?的最大似然估计为
??N. ?n
第8章 假设检验部分
16． （1998年、数学一、计算）
设考生的某次考试成绩服从正态分布，从中任取36位考生的成绩，其平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在0.05的显著性水平下，可否认为全体考生这次考试的平均成绩为70分，给出检验过程。
解：设考生的某次考试成绩作为总体X且X~N(?,?2)，将从中任取36位考生的成绩作为取自总体X的容量为36的样本，则X?66.5,S?15，在0.05的显著性水平下，检验全体考生这次考试的平均成绩?是否为70分，检验过程如下： 设H0:?0?70，取检验统计量T?X??0Sn，则接受域为{|T|?t1??2(n?1)}，
而观测值为|T|?|66.5?70|1536?1.4?t1??2(n?1)?t0.975(35)?2.0301
故可认为全体考生这次考试的平均成绩为70分。 17． （1995年、数学三、填空）
设X1,X2,?,Xn是来自正态总体N(?,?)的简单随机样本，参数?和?未知且
n1n2X??Xi，Q??(Xi?X)2，则假设：H0 ：??0的t检验，使用的统计量
ni?1i?122T?（ ）。
解：填：
Xn(n?1) QX??1n2若S?，则统计量(X?X)T?~t(n?1) ?in?1i?1Sn2