解：（Ⅰ）连结AO， A1O⊥面ABC，AO是
A1A在面ABC的射影
A1 D B1 C1 ∵ AO⊥BC ∴ A1A⊥BC． …………5分 （Ⅱ）解法一：
由（1）得∠A1AO=45° 由底面是边长为23的正三角形，可知AO=3 ∴A1O=3，AA1=32 过O作OE⊥AC于E，连结A1E，
则∠A1EO为二面角A1—AC—B的平面角
?3?23OE32∵OE=2，∴tan∠A1EO=
A1OA B E F O C …………9分
5即二面角A1—AC—B的余弦值为5． …………12分
解法二：
如图，以O为坐标原点，以OA,OB,
OA1所在直线分别
为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则O(0，0，0),A(3，0，0),A1可得(0，0，3),C(0，?3，0) ????????????AC?(?3,?3,0),AA1?(?3,0,3),OA1?(0,0,3) ???????n?AC?0???????ACA1?n?AA1?0设平面的法向量为n?(x,y,z)，则?
????3x?3y?0?3x?y?0,即???3x?3z?0??x?z??故 ACA1令x?1,则y??3,z?1 故是平面的一个法向量 ???9分 ?????OA1=(0,0,3)是平面ABC的一个法向量 ????10
?n?(1,?3,1)分
所以??????????n?OA1cos?n,OA1????????nOA135?3?55
5由图可知所求二面角为锐角，所以二面角
A1?AC?B的余弦值为5…………12分
18. （本小题满分12分）
8?25. 解：（Ⅰ）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是20根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人。
10?25?410?25?4所以选中的“甲部门”人选有人，“乙部门”人选有人. ……………3 分
用事件A表示“至少有一名”甲部门“人选被选中”，则它的对立事件A表示“没有一名”p(A)?1?c4c833?1?456?1314甲部门“人选被选中”，则。
13因此，至少有一人是“甲部门”的概率是14…………………………………………6 分
（Ⅱ）依题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0,1,2,3.……7 分 p(X?0)?c6.c4c2310103?412012?130,p(X?1)?c6.c4c1631012?310, p(X?2)?c6.c4c310?,p(X?3)?c6.c4c31030?, 2 12 因此，X的分布列如下:
X P ………………10 分
EX?0?130?1?930?2?1530?3?530?95……………………12 分
0 130 1 310 3 16 所以X的数学期望19. （本小题满分12分） 解:（Ⅰ），
?xn??52?(n?1)?(?1)??n?32?yn?3xn?134??3n?54.?Pn(?n?32,?3n?54 …………4分
)?Cn（Ⅱ）的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn，
y?a(x?2n?32)?212n?54∴设
Cn的方程为．
把
Dn(0,n?1)代入上式,得a?12， ………………7分
22Cny?x?(2n?3)x?n?1. ………………8分 ∴的方程为
k?y?|x?0?2n?3,∵n ?an?kn?4?2n?1Tn?1?12?3?122
123?5??.........?(2n?1)?12 ①
n11111?Tn?1?2?3?3?5?4?.........?(2n?1)?n?122222 ②………………9分
1111?2n?1?1?Tn??2??2?3?.........?n??n?1222?2?2.① - .②：2 11?2n?1?1?Tn?1?2??1?2?.........?n?1??n22?2?2 1?1?2?2(1?1?121n?1)?2n?12n?3?22n?1?2n?12n
?3?2n?32n2 ………………12分
20. （本小题满分13分） ???a?c?3?22?a?3??222?c?22?a?c?3?22解：（Ⅰ）由已知?，得?，b?a?c?1，
x22所以椭圆方程为9 （Ⅱ）设?y?1 ………………4分
P(x,y),F1(?22,0),F2(22,0)??????????PF1?(?22?x,?y),PF2?(22?x,?y)?????????PF1?PF2?(?22?x,?y)(22?x,?y)?x?8?y?x?y?8x222222 ?y?1?2?P在椭圆9?y?1x2上
9
?????????8222?t?PF1?PF2?x?y?8?x?79 ?0?x?9 ??7?t?1故所求实数t的范围为??7,1?………………8分
2 （Ⅲ）依题意，直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y?k(x?1)，
?y?k(x?1)?2?x2?y?1?M(x1,y1),N(x2,y2),R(0,y3)设，则M,N两点坐标满足方程组?9，
消去整理得
x1?x2?y(1?9k)x?18kx?9k2222?9?0，
18k22所以1?9k,x1x2?9k?91?9k，① ………………10分
22(x,y?y3)?????1,0??(x1,y1)??， 因为RM??MQ，所以11?x1??(1?x1)x??1?y?y3???y1x?11?x1即?1，因为l与x轴不垂直，所以1，则，
又RN??NQ，同理可得??x21?x2，
????所以x11?x1?x21?x2?x1?x2?2x1x21?(x1?x2)?x1x2 由①式代人上式得?????94 ………………13分
21. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当a?1时，?(x)?f(x)?g(x)?lnx?1x?32，则?'(x)?1x?1x2?x?1x2 ''?(x)?0?∵在区间（0，1]上，，在区间[1，+∞）上，(x)?0
∴?(x)在区间（0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增 ……………2分
∴在x∈[4，+∞）上，当x=4时，?(x)的最小值为?1??2,1??g(x)? 上有解 在区间??(4)?ln4?54．……………3分
（Ⅱ）∵方程
e2f(x)
e2lnx即?1??1?33,1??a?x?x?2??2,1??上有解即? 上有解 2x在区间?2在区间?3a32x?x3h(x)?令?1?3'2,1h(x)??3x?2?? ∴2，x∈? ?1?2?2?,,1????''22?2? 上，h(x)?0 ∵在区间? 上，h(x)?0，在区间??1?2?2?,1??,??222? 上单调递增，在区间?? 上单调递减， ………………6分 ∴h(x)在区间?h(1)?1又1215h(1)?h(x)?h(),h()?2 228 ∴2?12?a??,??h(x)?22?? ………………8分 2故即2（Ⅲ）设
ak?2f(2k?1)?f(k)?f(k?1)2
?2ln(2k?1)?lnk?ln(k?1)?ln4k?4k?1k(k?1)54 ?0由（1）知，?(x)的最小值为lnx?32?1?(4)?ln4? ∴2x（x≥4） ………………9分
4k?4k?1又∵?ak??5454nk(k?1)32?4 ?132?14k?4k?1?144k?4k?1122?k(k?1)4k?4k?1122?14(2k?1)1(1?541?4(2k?1)(2k?3)) ??82k?1?2k?3 ∴??ak?k?154n?1111111(????......??)835572n?12n?3 54n?111511151(?)?n?(?)?n?832n?34835460 ………………11分
构造函数F(x)?lnx?x?2(x?4)，则∴当x?4时，F(X)?0．
'F(x)?'1?xx，
∴F(X)在?4,???上单调递减，即F(x)?F(4)?ln4?2?2(ln2?1)?0。
'∴当x?4时，lnx?x?2． 2ak?ln4k?4k?1k(k?1)?4?111k?k?1?2a，即k?2?k?1k?1 n?a2n?1?1k?n?1?2n?1k?1 5n?1)?f(k)?f(k?1)??2n?1故4n?160???2f(2kk?1， n∈N*．
…………14分