(??,3]。
【思路点拨】利用换元法同时结合不等式的解法分类讨论即可。
【题文】14．在△ABC中，己知 AC?3,?A?45，点D满足 CD?2BD，且 AD?13，则BC的长为_______ ．
【知识点】向量数乘的运算及其几何意义． F3 【答案】【解析】31-317 解析：根据题意，画出图形，如图所示； 2 设BC=x，∴CD=2x，∴D是CD的中点，∴S△ABC=S△ABD； 即11?3?AB?sin45°=?13?AB?sin∠BAD， 22∴sin∠BAD=32， 21317； 26cos∠BAD=∴cos∠DAC=cos45°cos∠BAD-sin45°sin∠BAD =217?226232?221317-3， 213在△ACD中，CD2=AD2+AC2-2AD?AC?cos∠DAC =13+9-2创133?17-331-317， 213∴CD=31-317， ∴BC=31-317． 2
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故答案为：31-317． 2【思路点拨】根据题意，画出图形，结合图形，利用同角的三角函数关系，余弦定理，求出CD的长，即得BC的长．
【题文】二、解答题：本大题共6小题．15～17每小题1 4分，18～20每小题1 6分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【题文】15．（本小题满分14分） 己知向量 a?(1,2sin?),b?(sin(?? (1)若 a?b，求 tan?的值： (2)若 a//b，且 ??(0,?3),1)， ??R．
?2)，求 ?的值．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算．F2 F3 【答案】【解析】(1) tan???π3； (2) ??
65解析：(1)因为a?b，所以ab=0， ??????????????2分
所以2sin??sin?????53π?，即sin??cos??0． ???4分 ?0?223?3． ????????6分 5因为cos??0，所以tan???(2)由a∥b，得2sin?sin???即2sin?cos2??π???1， ??????8分 3?ππ13?2sin?cos?sin?1，即?1?cos2???sin2??1， 3322整理得，sin?2??又???0,所以2????π?1?? ??????????11分 6?2??π?π?π5π?，所以2?????,?， ?2?6?66?πππ?，即??． ????????14分 666【思路点拨】（1）由向量的垂直的性质得到θ的三角函数式，然后化简解答；（2）由向量平行的性质得到θ的三角函数式，然后化简解答。
【题文】16．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥P- ABC中，已知平面PBC ?平面ABC． (1)若AB ? BC，CD ? PB，求证：CP ? PA：
(2)若过点A作直线l上平面ABC，求证：l//平面PBC．
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【知识点】线面垂直的判定定理；线面平行的判定定理.G4 G5 【答案】【解析】(1)见解析； (2) 见解析 解析：（1）因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC平面ABC?BC，AB?平面ABC，
AB⊥BC，所以AB⊥平面PBC． ???????????????????2分
因为CP?平面PBC，所以CP⊥AB. ??????????????????4分 又因为CP⊥PB，且PBAB?B，AB,PB?平面PAB,
所以CP⊥平面PAB，?????????????????????????6分 又因为PA?平面PAB，所以CP⊥PA．?????????????????7分 （2）在平面PBC内过点P作PD⊥BC，垂足为D．?????????????8分
因为平面PBC⊥平面ABC，又平面PBC∩平面ABC＝BC，
PD?平面PBC，所以PD⊥平面ABC．????????????????10分
又l⊥平面ABC，所以l//PD．????????????????????12分 又l?平面PBC，PD?平面PBC，l//平面PBC．???????????14分 【思路点拨】(1)先根据已知条件证明出AB⊥平面PBC，再结合线面垂直的判定定理即可；(2)首先证明出PD⊥平面ABC，再结合l//PD以及线面平行的判定定理即可. 【题文】17.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中，己知点 A(?3,4),B(9,0) ，C， D分别为线段OA， OB上的动点，且满足AC=BD.
（1）若AC=4，求直线CD的方程;
（2）证明：? OCD的外接圈恒过定点(异于原点O).
【知识点】圆的一般方程；直线的一般式方程．H1 H3
【答案】【解析】(1) x?7y?5?0 (2) 见解析
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解析：(1) 因为A(?3,4)，所以OA?(?3)2?42?5，?????????????1分
又因为AC?4，所以OC?1，所以C(?,)，?????????????3分 由BD?4，得D(5,0)，??????????????????????? 4分
345545??1CD所以直线的斜率， ??????????????????5分
7?3?5?????5?0?所以直线CD的方程为y??(x?5)，即x?7y?5?0．??????????6分 （2)设C(?3m,4m)(0?m≤1)，则OC?5m．????????????????7分
则AC?OA?OC?5?5m，
因为AC?BD，所以OD?OB?BD?5m+4，
所以D点的坐标为 (5m+4,0) ?????????????????????8分 又设?OCD的外接圆的方程为x2?y2?Dx+Ey?F?0，
17?F?0,??22则有?9m?16m?3mD?4mE?F?0,?????????????????10分
?25m?4??5m?4?D?F?0.????解之得D??(5m?4),F?0,E??10m?3,
所以?OCD的外接圆的方程为x2?y2?(5m?4)x?(10m?3)y?0，????12分 整理得x2?y2?4x?3y?5m(x?2y)?0，
?x2?y2?4x?3y=0,?x?0,?x?2, 令?，所以?（舍）或?y?0.y??1.???x+2y=0所以△OCD的外接圆恒过定点为(2,?1)．????????????????14分 【思路点拨】（1）根据条件确定C，D的坐标，根据直线的两点式方程即可求直线CD的方程；
（2）根据AC=BD，根据待定系数法表示出C，D的坐标，利用圆的一般式方程，即可得到结论．
【题文】18.(本小题满分16分)
如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km， AD为4 km.，地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点P到边AD的距离为t(单位:km)，△BEF的面积为S(单位: km).
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2
(I)求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域;
(2)是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3 km?并说明理由.
2
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法．B11 B12 【答案】【解析】(1) S?13(t?8t2?16t)，定义域为(0,2]； (2) 不存在点P，使隔离出的4△BEF面积S超过3km2。
解析：(1)如图，以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则C点坐
标为(2,4)．?????????????????????1分
设边缘线AC所在抛物线的方程为y=ax2， 把(2,4)代入，得4=a 22，解得a=1，
所以抛物线的方程为y=x2．??????????3分 因为y￠=2x，???????????4分
所以过P(t,t2)的切线EF方程为y=2tx-t2．?????????5分
t21t2所以S?(2?)(4t?t)，??????????????8分
22132所以S?(t?8t?16t)，定义域为(0,2]．????????9分
41234(2)S??(3t?16t?16)?(t?4)(t?)，????????12分
4434由S?(t)?0，得0?t?，
344所以S?(t)在(0,)上是增函数，在(,2]上是减函数，?????14分
33令y=0，得E(,0)；令x=2，得F(2,4t-t2)，??????7分
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