所以S在(0,2]上有最大值S()?又因为
4364． 276417?3??3， 2727所以不存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3km2．?????16分
【思路点拨】（1）如图，以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则C点坐标为（2，4）．设边缘线AC所在抛物线的方程为y=ax2，把（2，4）代入，可得抛物线的方程为y=x2．由于y￠=2x，可得过P(t,t2)的切线EF方程为y=2tx-t2．可得E，F点的坐标，S?D y C F P O(A) E （第18题）
B x 1t1t2(2?)(4t?t2)，即可得出定义域；（2）S?(2?)(4t?t)，利用导数2222在定义域内研究其单调性极值与最值即可得出．
【题文】19.(本小题满分16分)
在数列 ?an?中，已知 a1?a2?1,an?an?2???2an?1,n?N?，?为常数. (1)证明: a1,a4,a5成等差数列; (2)设 cn?2an?2?an，求数列 的前n项和 Sn；
（3）当??0时，数列 ?an?1?中是否存在三项 as?1?1,at?1?1,ap?1?1成等比数列， 且s,t,p也成等比数列?若存在，求出s,t,p的值；若不存在，说明理由. 【知识点】数列的求和；等比数列的性质；数列递推式．D1 D3 D4 【答案】【解析】(1) 见解析；(2) 当??0时，Sn?n，当
??0时，Sn?2?2?2?L?2?3?5?(2n?1)?2?(1?22n?)?．（3）不存在三项2?1?2as?1?1,at?1?1,ap?1?1成等比数列，且s,t,p也成等比数列．
解析：（1）因为an?an?2???2an?1，a1?a2?1，
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所以a3?2a2-a1+????1，
同理，a4?2a3-a2+??3??1，a5?2a4-a3+??6??1， ????????2分 又因为a4?a1?3?，a5?a4?3?，???????????????????3分 所以a4?a1?a5?a4，
故a1，a4，a5成等差数列．??????????????????????4分 （2） 由an?an?2???2an?1，得an?2?an?1?an?1?an+?，??????????5分
令bn?an?1?an，则bn?1?bn??，b1?a2?a1?0， 所以?bn?是以0为首项，公差为?的等差数列，
所以bn?b1?(n?1)??(n?1)?，???????????????????6分 即an?1?an?(n?1)?，
所以an?2?an?2(an?1?an)???(2n?1)?， 所以cn?2an?2?an?2(2n?1)?． ?????????????????????8分
Sn?c1?c2?L?cn?2??23??25??L?2(2n?1)?
当??0时，Sn?n， ???????????????????????9分 当??0时，Sn?2?2?3??2?L?25?(2n?1)?2?(1?22n?)?．??????10分
1?22?（3）由（2）知an?1?an?(n?1)?，
用累加法可求得an?1+(n?1)(n?2)??n≥2?，
2(n?1)(n?2)??n?N?? ????????12分 当n?1时也适合，所以an?1+2假设存在三项as?1?1,at?1?1,ap?1?1成等比数列，且s,t,p也成等比数列，
t2(t?1)2s(s?1)p(p?1)?则(at?1?1)?(as?1?1)(ap?1?1)，即， ???14分 442因为s,t,p成等比数列，所以t?sp，
2
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所以(t?1)2?(s?1)(p?1)，
化简得s?p?2t，联立 t2?sp，得s?t?p． 这与题设矛盾．
故不存在三项as?1?1,at?1?1,ap?1?1成等比数列，且s,t,p也成等比数列．?16分 【思路点拨】（1）利用递推式可得a4，a5再利用等差数列的定义即可证明；（2）由
an?an?2???2an?1，得an?2?an?1?an?1?an+?，令bn?an?1?an，利用等差数列的通项
公式可得bn?1?bn??，即可得出cn?2an?2?an?2(2n?1)?．利用等比数列的前n项和公式即可
(n?1)(n?2)??n≥2?，
2得出．（3）由（2）知an?1?an?(n?1)?，用累加法可求得an?1+当n=1时也适合，假设存在三项as?1?1,at?1?1,ap?1?1成等比数列，且s,t,p也成等比数列，利用等比数列的通项公式即可得出． 【题文】20.(本小题满分16分)
己知函数 f(x)?lnx?12ax?x,a?R 2(1)若 f(1)?0，求函数 f(x)的单调递减区间;
(2)若关于x的不等式 f(x)?ax?1恒成立，求整数 a的最小值:
(3)若 a??2，正实数 x1,x2满足 f(x1)?f(x2)?x1x2?0，证明: x1?x2?5?1 2【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求函数的单调区间；利用导数解决不等式恒成立的问题.B11 B12
【答案】【解析】(1) (1,??)； (2)2； (3) 见解析。
解析：（1）因为f(1)?1?a?0，所以a?2，???????????????1分 2此时f(x)?lnx?x2?x,x?0，
1?2x2?x?1f?(x)??2x?1?(x?0) ??????????????? 2分
xx由f?(x)?0，得2x2?x?1?0， 又x?0，所以x?1．
所以f(x)的单调减区间为(1,??)． ???????????????? 4分
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（2）方法一：令g(x)?f(x)-(ax?1)?lnx?12ax?(1?a)x?1， 21?ax2?(1?a)x?1所以g?(x)??ax?(1?a)?．
xx当a≤0时，因为x?0，所以g?(x)?0． 所以g(x)在(0,??)上是递增函数，
又因为g(1)?ln1?13a?12?(1?a)?1??a?2?0， 22所以关于x的不等式f(x)≤ax?1不能恒成立．??????????????6分
1a(x?)(x?1)?ax?(1?a)x?1当a?0时，， ag?(x)???xx2令g?(x)?0，得x?1． a1a所以当x?(0,)时，g?(x)?0；当x?(,??)时，g?(x)?0，
1a因此函数g(x)在x?(0,)是增函数，在x?(,??)是减函数．
1a1a故函数g(x)的最大值为g()?ln1a11111?a?()2?(1?a)??1??lna． a2aa2a ??????????????????????????8分 令h(a)?1?lna， 2a11?0，h(2)??ln2?0，又因为h(a)在a?(0,??)是减函数． 24因为h(1)?所以当a≥2时，h(a)?0．
所以整数a的最小值为2． ??????????????????????10分 方法二：（2）由f(x)≤ax?1恒成立，得lnx?12ax?x≤ax?1在(0,??)上恒成立， 2
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lnx?x?1问题等价于在(0,??)上恒成立． 12x?x2lnx?x?1g(x)?令，只要a≥g(x)max．???????????????? 6分 12x?x21(x?1)(?x?lnx)12因为g?(x)?，令g?(x)?0，得?x?lnx?0．
12(x2?x)22a≥设h(x)??111x?lnx，因为h?(x)????0，所以h(x)在(0,??)上单调递减，
2x2不妨设?1x?lnx?0的根为x0． 2当x?(0,x0)时，g?(x)?0；当x?(x0,??)时，g?(x)?0， 所以g(x)在x?(0,x0)上是增函数；在x?(x0,??)上是减函数．
11?x0lnx0?x0?112g(x)?g(x)???所以．?????????8分 max0121x0x0?x0x0(1?x0)22111因为h()?ln2??0，h(1)???0
224111??2，即g(x)max?(1,2)． 所以?x0?1，此时
x02所以a≥2，即整数a的最小值为2．?????????????????? 10分 （3）当a??2时，f(x)?lnx?x2?x,x?0
22由f(x1)?f(x2)?x1x2?0，即lnx1?x1?x1?lnx2?x2?x2?x1x2?0
从而(x1?x2)?(x1?x2)?x1?x2?ln(x1?x2) ????????????? 13分 令t?x1?x2，则由?(t)?t?lnt得，??(t)?2t?1 t可知，?(t)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,??)上单调递增．
所以?(t)≥?(1)?1， ?????????????????????15分 所以(x1?x2)?(x1?x2)≥1，
2
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