第1章 绪论 习题解答
1-1
解：每个消息的平均信息量为
H(x)??11lo2g?44?2181l2og?8121log22
=1.75bit/符号
1-2
解：（1）两粒骰子向上面的小圆点数之和为3时有（1，2）和（2，1）两种可能，总的组合数为C6?C6?36，则圆点数之和为3出现的概率为 故包含的信息量为
I(3)??p3?236?118
1l2og?184bit.17()11
（2）小圆点数之和为7的情况有（1，6）（6，1）（2，5）（5，2）（3，4）（4，3），则圆点数之和为7出现的概率为
366
故包含的信息量为
p7?6?1logp3??2
1-3 解：（1）每个字母的持续时间为2?10ms，所以字母传输速率为
不同字母等可能出现时，每个字母的平均信息量为
2符号 H(x)?lo2g?4 bit/
平均信息速率为
RB4?12?10?10?3I(7)??logp7??21l2og?62.b5i8t5()?50Baud Rb?RB4?H(x)?10 0bit/s
（2）每个字母的平均信息量为
=1.985 bit/符号 所以平均信息速率为
H(x)??111lo2g?5541l2og?4141lo?g243log210 1035 Rb?RB4?H(x)?99.2 (bit/s)
1-4 解：（1）根据题意，可得：
I(0)??I(1)??loPgloPg(?0?)?(1?)23lo?g8 比特
1.41521lo?g24 比特
I(2)??I(3)??loPgloPg(?2?)(?3?)21lo?g24 比特 1lo?g38 比特
（2）法一：因为离散信源是无记忆的，所以其发出的消息序列中各符号是无依赖的、统计独立的。因此，此消息的信息量就等于消息中各个符号的信息量之和。此消息中共有14个“0”符号，13个“1”符号，12个“2”符号，6个“3”符号，则该消息的信息量是：
)1I3(?1)I12?(2I) I?14I(0?51?3?2?12?2 ? ?14?1.41??87.81 比特
此消息中共含45个信源符号，这45个信源符号携带有87.81比特信息量，则此消息中平均每个符号携带的信息量为
I2?87.81/45?1.95 比特/符号
2法二：若用熵的概念计算，有
说明：以上两种结果略有差别的原因在于，它们平均处理方法不同，前一种按算术平均的方法进行计算，后一种是按熵的概念进行计算，结果可能存在误差。这种误差将随消息中符号数的增加而减少。 1-5
4444解：（1）bit/符号
（2）某一特定序列（例如：m个0和100-m个1）出现的概率为
H(x)??1log21?3log23?0.811H(x)??38log238?2?14log214?18log218?1.906(bit/符号)P?XL??P?X1,X2,?,X100????P?0?????P?1???m100-m?1??3???????4??4?m100-m所以，信息量为
I?X1,X2,?,X100???logP?X?200?(100?m)log23L
?m100-m????1??3????log??????44?????????bit?（3）序列的熵
??XL
1-6
解：若系统传送二进制码元的速率为1200Baud，则系统的信息速率为：
?l2og?21 200 Rb?1200bit/s
若系统传送十六进制码元的速率为2400Baud，则系统的信息速率为： ?l2og1?6 Rb?24001-7
解：该恒参信道的传输函数为
9600 bit/s
??100??X??81bit/序列
H(?)?H(?)ej?(?)?K0e?j?td
d?(?t0 冲激响应为 h(t)?Kt )?)0Ks?(dt t) 输出信号为 y(t)?s(t)*h(t 讨论：该恒参信道满足无失真传输的条件，所以信号在传输过程中无畸变。 1-8
解：该恒参信道的传输函数为 H(?)?Ae?j(?td?bsin?T0)?Ae?j?td?ejbsin?T0
nT0e) ?A(1?jbsi?jbj?T0?j?T0?j?td?A[1?(e?e)]e2j
?j?td
?Ae?j?td?Ab2e?j?(td?T0)?Ab2e?j?(td?T0)
Ab2 冲激响应为
h(t)?A?(t?td)?Ab2?(t?td?T0)??(t?td?T0)
输出信号为 y(t)?s(t)*h( t)
1-9
?As(t?td)?Ab2s(t?td?T0)?Ab2s(t?td?T0)
解：假设该随参信道的两条路径对信号的增益强度相同，均为V0。则该信道的幅频特性为：
H(?0)?2V0cos??2 当 当
??1
出现传输零点；
?1(2n?1)?,n?0,1,2,?时，H(?0)2n?,n?0,1,2,?时，H(?0)n?n???出现传输极点；
所以在 在1-10
f??kHz(n为整数)时，对传输信号最有利；
f?(n?111)?(n?)2?2kHz(n为整数)时，对传输信号衰耗最大。
log10SN?30dB解：(1) 因为S/N =30dB,即10
得：S/N=1000
由香农公式得信道容量
C?Blog2(1?，
S? ?3400N
l2og?(13)1 000)91b0it s/ ?33.8?（2）因为最大信息传输速率为4800b/s，即信道容量为4800b/s。由香农公式
SCC?Blog(?124800SN
)得：N则所需最小信噪比为1.66。
?2B?1?23400?1?2.66?1?1.66。
第2章 信号与噪声分析
习题解答
2-1 解：
p(x?2)?1?p(x?2)数学期望： E(x)?a?????xp(x)dx??2????x12adx?x24aa?a?0?a
dx?x3aE(x)?因为 所以方差： 2-2
????xp(x)dx?2?x22a6a??aa23
D(x)?E(x)?[E(x)]?22a23?0?a23
x?0x解：由题意随机变量x服从均值为0，方差为4，所以
?(x)?12?2，即2服从标准正态分布，可
通过查标准正态分布函数 （1）
?x??e?t22dt数值表来求解。
?2?02)?1??(1)p(x?2)?1?p(x?2)?1?p(x?02
3 ?1?0.841?0.1 5x?04?0p(x?4)?1?p(x?4)?1?p(?)?1??(2)22 （2） 2 ?1?0.977?x?1.50.0 2 （3）当均值变为1.5时，则
p(x?2)??1px(?2服从标准正态分布，所以
?2)?p12?2?421.5??)?1(0.25)x?1.5(?2
70.4 ?1?0.598? 0x?1.5p(x?4)??1px(??4)?p1(?2
40.1 ?1?0.894? 0
1.5??)?1(1.25)
2-3
解：（1）因为随机变量?服从均匀分布，且有0???2?，则?的概率密度函数
所以有
] E[z(t)?E[m(t)c?os?(?t0f(?)?12?，
)] ?? ? Rz(t,t??)?E[m(t)?]E[c?o0s(?t?
)]E[m(t)?]?00
2?1co?s0(t???)d?2?E[m(t)c?o0s(?t???)m?t?()?co?st(??? ?00)])]t? ?E[m(t)m(?)]E[c?os(?t?0)?co?st(????00
?Rm(?)?E[?Rm(?)?1212cos(2?0t??0??2?)?12cos??0]
co?s0?
?0??cos(1??)?,?1??0?2??0??cos??(1??),?0??12??0,其他?? ? ?Rz(?)
由此可见，z(t)的数学期望与时间无关，而其相关函数Rz(t,t??)仅与?相关，因此z(t)是广义平稳的。 （2）自相关函数Rz(?)的波形如图2-6所示。
图2-6
（3）根据三角函数的傅氏变换对
?t?0?1?t,?1??2?tri(t)??1?t,?0t??1Sa(2???0,其他t?
)
可得平稳随机过程z(t)的功率谱密度
Pz(?)?????Rx(?)e??j??d?
??cos??01214??tri?()e2?j??
2-4
?[Sa(2???02)?Sa(?d ???0212
)]
S?Rx(0)?cos?0?2(?1?)0?|??