复习2—导数与微分
一．有关微分中值定理 罗尔定理
f?x?在?a,b?连续，在?a,b?可导，且
f?a??f?b?。则存在???a,b?，
f???使
??0
a
?1f?2
?x? b
拉格朗日微分中值定理
f?x?在?a,b?连续，在?a,b?可导。
??a,b?，
ff则存在?f?b? ?a? 使
f??????b??f?a?b?a
a ?1?2
b
（小妹，以上两个定理比较常用，记住其几个前提条件，图辅助记忆）
柯西定理（比较少用，了解即可）
f?x?与g?x?在?a,b?连续，在?a,b?可导，且在?a,b?内任意点处g??x????a,b?，使
f???g???0。
则存在????f?b??f?a?g?b??g?a?
二．复习题
1.讨论下列函数在x
f1?x??sin1x?0处是否存在极限？是否连续？是否可导？
x?0x?0
1?xsin?f2?x???x?0?
1?2xsin?f3?x???x?0?x?0x?0
2．求下列导数、微分。 （1）已知y（2）已知y（3）y?f?e?xcos3x，求y?、y???????2?、dy、dy?2、y??、y????????2?。
??lnx?xx，求y?。
?e?xe?，求y?。
f??0?存在，求证f??0??03．（1）证明：可导的偶函数的导数为奇函数；可导的奇函数的导数为偶函数。 （2）设f?x?是可导的偶函数，且
。
1
4已知??x??22af2?x?，且f??x??1f?x?lna，证明???x??2??x?。
5．求椭圆
xa?yb22?1在点M?x0,y0?的切线方程。
6．求曲线xy?sin??yex2??0在点?0,1?处的切线与法线方程。
x???1,1?在给定的区间满足罗尔定理的条件，且求出定
7．验证函数f?x??理中的?值。 8．验证函数f?x??出定理中的?值。
2lnxx??1,2?在给定的区间满足拉格朗日定理的条件，且求
9．用拉格朗日定理证明：若limx?0?f?x??f?0??0，且当x?0时
f??x??0，则
当x?0时，f?x??0。
sinx2?sinx1?x2?x110．证明不等式 。
x?x0?11．证明：若函数f?x?在?x0,x0???上连续，在?x0,x0???内可导，且lim（A为常数），则f?x?在x0处的右导数存在且等于A。 12．讨论函数y?x2f??x??A1?x12的单调性与极值。
13．求曲线y?xex的渐近线。
例题
1.函数
?f(x)?x3?x在区间[0,3]上满足罗尔定理条件,由罗尔定理确定的
=( ). A.?1f(x)?x3?xB.12C.1D.2
解 因为 在[0，3]连续，在（0，3）可导，且
f f?0??所以函数
f????3??0
??0,3?f(x)?x3?x在区间[0,3]上满足罗尔定理条件,??，使
??0。
2
f?(x)?3?x?x?1事实上，
23?x6?3x
?23?x当??2时，
f?????0。
故选D。 2.曲线y?(1?1)x2x的水平渐近线方程为y? . 解 因为 lim?1?x12x???1?2x??e
??所以曲线y?(1?1)x2x的水平渐近线方程为y?e 注意：对于曲线y?f?x?
（1） 若limf?x??b，则有水平渐近线y?b； x??（2） 若limf?x???，则有铅垂渐近线x?a；
x?a（3） 若limf?x?x?k，且lim?f?x??kx??b，则有斜渐近线y?kx?b
x??x??3.设函数
f(x)在x0?h)?f(x0)0处可导,则limf(xh? . h?0解 因为 limf?x0??x??f?x0???x?0?x?f?x0?
令 h???x，则limf(x0?h)?f(x0)f?x0??x??f?x0?h?0h?lim?x?0??x??f??x0?4.设函数f(x)?xe?x,则
f??(1)? . 解
f??x??e?x?xe?x?e?x?1?x? f???x???e?x??1?x?e?x?e?x?x?2?
f???1???1e
5.已知y?xcosx,求一阶导数y?.
解 两边取对数 lny?cosx?lnx
3
两边求导
1yy???sinxlnx?cosxx
故 y??xcosx???sinxlnx?cosx?
?x??6.已知y?y(x)是由方程ln(x2?y2)?arctany所确定的隐函数,求
dyx.
dx解1两边对x求导 (ln(x2?y2))??(arctany)?x
11xy??yx2?y2?2x?2yy???21??y?x2
??x???x?2y?y??2x?y
故 y??2x?yx?2y
解2 设 F?x,y??ln(x2?y2)?arctanyx
则偏导数 F?2x1?y2x?yxx2?y2?21??y?x2?x2?y2
??x??F1y?xy?2yx2?y2?121??y?x?2x2?y2
??x??dy2x?ydx??FxF?x?2y
y7.已知22z?sin(xy)?cos(x?y),求
?z?x2,
?z?x?y.
解 ?z?x?ycos(xy)?sin(x?y) ?2z?x2??y2sin(xy)?cos(x?y)
?2z?x?y?cos(xy)?xysin(xy)?cos(x?y)
?128.设
xf(x)?xe2,
（1）
f(x)的单调区间和极值;
4
（2）
f(x)在闭区间[0,2]上的最大值和最小值.
解 （1） 定义域???,???，
f?(x)?e?12x2?x2?x2?xe2??x???e2?x?1??x?1?
驻点
xx??1x?1
???,?1? ?1 ??1,1? 1 0 ?1,??? f??x?- f0 极小值 + f- f?x? ??极大值 ?在区间???,?1?或?1,???f?x?单调减少；在区间??1,1?1e?x?单调增加。
?x?有极小值
f??1???，极大值f?1??2e21e。
（1） 故
f(x)又f?0??0，f?2???f?1?
1e在闭区间[0,2]上的最大值为f?1??，最小值为f?0??0。
9.讨论下列函数在x
f1?x??sin1x?0处是否存在极限？是否连续？是否可导？
1?xsin?f2?x???x?0?x?0x?0
1?2xsin?f3?x???x?0?x?0x?0
解
11limsin不存在，f1?x??sinx?0xxlimf2x?0在x?0不连续，不可导；
?x??limxsinx?01x?0?f2?0?
limx?0f2?x??f2?0?xsin?limx?01x?limsinx?01xx?0x 不存在，
故
1?xsin?f2?x???x?0?x?0x?0在x?0处存在极限且连续但不可导；
5