limx?0f3?x??f3?0?xsin?limx?021x?0?limxsinx?01xx?0x?0
故
1?2?xsinf3?x???x?0?x?0x?0在x?0处可导，所以在x?0处存在极限且连续。
10．（1）证明：可导的偶函数的导数为奇函数；可导的奇函数的导数为偶函数。 （2）设f?x?是可导的偶函数，且
f??0?存在，求证f??0??0f。
证明 （1） 设f?x?为可导的偶函数，则f??x??f???x??limf?x?，且
??xf??x??f?x??x??f??x??x??x?
??f??x?
?x?0 ??lim??x?0?x所以可导的偶函数的导数为奇函数。
设f?x?为可导的奇函数，则f??x??f???x??limf?f?x?，且
??xf??x??f?x??x??f??x??x??x?
?x?0?lim??x?0?x?f??x?所以可导的奇函数的导数为偶函数。 （2）f?x?是可导的偶函数，则 即
f???0???f??0?f??x?为奇函数，
f??2f??0??0??0? 0111．已知??x??af2?x?，且f??x??f?x?lna2，证明???x??2??x?。
???x??a?f2?x????a??f2?x??lna?f1f?x???证明
????aaf2?x??lna2f?x?f??x?lna2f
?2?f2?x??x??x?lnaf?x?012．用拉格朗日定理证明：若limx?0??x??f?0??，且当x?0时
f??x??0，则
当x
?0时，f?x??0。
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解 由于limx?0?f?x??f?0??0，故f?x?在x当x?0?0右连续，
时，f?x?在[0,x]连续，在(0,x)可导，由拉格朗日定理，
f?x??f?0?x?0?f???????0,x?
即 由于
f???f?x?x?f??????0
??0，x?0，?f?x??0。
。
）连续，在(x1,x2)可导，由拉格朗日
13．证明不等式 证明 由于sin定理，
xsinx2?sinx1?x2?x1在[x1,x2]（不妨设x1?x2sinx2?sinx1x2?x1?sin??
式中?在x1与x2之间，
sinx2?sinx1x2?x1?sin???cos??1
?sinx2?sinx1?x2?x1
x?x0?14．证明：若函数f?x?在?x0,x0???上连续，在?x0,x0???内可导，且lim（A为常数），则f?x?在x0处的右导数存在且等于A。 证明 由右导数的定义和拉格朗日定理，
f???x0f??x??A??lim?x?0?f?x0??x??f?x?x0?
?lim?x?0?f???f??????A???x0,x0??x??lim??x0?
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