楚雄师范学院数学系课程教案--数学分析专题选讲教案2-1--教案5
(数学分析专题选讲,周学时三节,单四双二) 周 第3周 (2009.3.9-2009.3.15) 次 第二专题 函数连续性中的若干基本方法 课 题 学 时 教学内容（主要） 教 学 目 标 教学重点 教学难点 教学方法与手段 §2.1 函数连续性 §2.2闭区间上连续函数性质的应用 2学时 一.函数连续性讨论 二.连续函数概念的应用 一.零点存在定理的应用 1.深刻理解函数连续性的概念 2.熟练掌握讨论函数连续性的基本方法 3.深刻理解和掌握闭区间上连续函数的性质 4.熟练应用闭区间上连续函数性质证明和解决问题的技能技巧 1.讨论函数连续性的基本方法 2.应用闭区间上连续函数性质证明和解决问题的技能技巧 1.讨论函数连续性的基本方法 2.应用闭区间上连续函数性质证明和解决问题的技能技巧 1.分析教学方法、对比教学方法、探索式的教学方法、讨论教学方法、综合教学方法 2.借助多媒体辅助教学 第二专题 函数连续性中的若干基本方法 §2.1 函数连续性 教 一.函数连续性讨论 学 进 定义.设f?x?在x0的某去心邻域内有定义. 程 f?x?和limf?x?都存在,但不相等,则称x0是f?x?的第一类间断点. (1).若lim (教??x?x0x?x0学设f?x?和limf?x?至少有一个不存在,则称x0是f?x?的第二类间断点. (2).若lim??x?xx?x计) 00f?x?和limf?x?都存在,且相等,即limf?x?存在,但f?x?在x0无意 (3).若lim??x?x0x?x0x?x0 义,或f?x?在x0有意义,但limf?x??f?x0?,则称x0是f?x?的可去间断点. x?x0
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y y o x0 x o x0 x x0是f?x?的第一类间断点. x0是f?x?的第二类间断点. 图 2.1.1 图 2.1.2 y o x0 x x0是f?x?的可去间断点. 图 2.1.3 x2n?3x2?1例1.讨论函数f?x??lim?e?x?1?2n的连续性,并指出不连续点的类 5n??x?4x?3x型. 12n?22nxxx 解:(1).f?x??lim?e?x?1? n??431?2n?5?2nxx1???ex?x?1,x?1,?2?ex?x?13x?1,x?1,x??53,??4x5?3??4??? e?,x?1,?2??3?e?1?2?,x??1.??23x2?1 ?e?x?1?5 4x?3ex?x?1 ex?x?1 x3
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? ? ? ? ?1 ?53 0 1 4 图 2.1.4 (2).因为 x?1xlimfx?lime?x?1??e, ?????x?13x2?12elimfx?lime?x?1???????4x5?37, x?1?x?1?3x2?1x?1lim?f?x??lim??e?x?1??2e?2?, ?5x??1x??1?4x?3lim?f?x??lim??ex?x?1??e?1?2, xx??1x??13x2?1??. limf?x??lim?e?x?1?533?4x?3x??5x??5x44?3??53?35??,1?1,?? 故f?x?在???,?1????1,?连续,在x1??1,x2??5 ????????4?4???4?,x3?1间断,且x1??1,x3?1是f?x?的第一类间断点,x2??5点. 3是f?x?的第二类间断4?的连续性,并指出不连续点的类型. x?11?解:因为x0?时,sin?0,故f(x)在x?时连续. nnx01?又因为x0?时,sin?sinn??0(n??1,?2,......),且 nx0lim?f(x)?1,lim?f(x)??1（n为奇数）; x?1n0x?1n0例2.讨论函数f?x??sgn?sin????lim?f(x)??1，lim?f(x)?1（n为偶数）, x?1n0x?1n01是第一类间断点(n??1,?2,......). n11因此f(x)在x?时连续,当x0?时间断,且是第一类间断点(n??1,?2,......). nn故x0? 例3.讨论函数f?x??1?2x?e连续点的类型. 解:在tan(x?令tan(x?x???tan?x???4??x??2sinx?1,x??0,2??的连续性,并指出不 ?)?0,或tan(x?)??时,f?x?无意义,故f?x?间断. 44??4)?0,则x??4?k?(k?0,?1,?2),故在(0,2?)内有x??4,x?5?. 4 34
令tan(x??4)??,则x??4?k???2(k?0,?1,?2...),故在(0,2?)内有x?3?, 4x?7?. 4因为 ?????tan?x???4???lim?f(x)?lim???1?2x?ex??2sinx?1??1?2, ??x?x??44???x?????tan?x???4???lim?f(x)?lim???1?2x?ex??2sinx?1????, ??x?x??44???x?????tan?x???4???lim?f(x)?lim???1?2x?ex??2sinx?1??1?2, 5?5?x?x??44???x?????tan?x???4???lim?f(x)?lim???1?2x?ex??2sinx?1????, 5?5?x?x??44???x?????tan?x???4???lim?f(x)?lim???1?2x?ex??2sinx?1??2?2, 3?3?x?x??44???x?????tan?x???4???lim?f(x)?lim???1?2x?ex??2sinx?1??2?2, 3?3?x?x??44???x?????tan?x???4???lim?f(x)?lim???1?2x?ex??2sinx?1??2?2, 7?7?x?x??44???x?????tan?x???4???lim?f(x)?lim???1?2x?ex??2sinx?1??2?2, 7?7?x?x??44????5?3?7?,x?故f?x?在?0,2??内,x?,x?是第二类间断点,x?是可去间断 4444断点. 例4.讨论函数f(x)?lim?解:因为 xtant?tanxx?sint??t?xsinx??的连续性,并指出不连续点的类型. f(x)?limet?xxsint?lntant?tanxsinx?limet?xlnsint?lnsinxx?tant?tanx?e1?cost?0sintxlimt?xsec2t?0?excos3xsinx, 35
故x?0,?n??n?1,2,...?时f?x?连续,而x?0,?n??n?1,2,...?分别是可去间断与第二类间断点. ?x3??x2?2x?3?,x?Q,?例5.讨论函数f(x)??的连续性. 32??x?x?2x?3?,x?Q.解:当x?0时,???0. 设x?1,则 f?x??f?0??x3?x2?2x?3?6x, ?3??3???于是,取??min?1,?,则当x??时,就有f?x??f?0???,故f?x?在x?0连续. 6???? 任取x0?0,分别取有理点列?rn?和无理点列??n?,使limrn?x0,lim?n?x0,则 n??n??3limf?rn??limrn3??rn2?2rn?3??x0??x02?2x0?3?, n??n??n??3limf??n??lim?n??n2?2?n?3??x03?x02?2x0?3?. n??3232若f?x?在x0连续,则x0?x0?2x0?3?x0x0?2x0?3,于是x0?0,矛盾.故????f?x?在x0?0不连续. 故f?x?在x?0连续,而在x?0不连续. x4n?ax3?2x2?b例6.设f?x??lim连续,求a,b的值. n??1?x4n解:因为 ?1,x?1,?32ax?2x?b,x?1,a2b1?4n?3?4n?2?4n?xxx??1f?x??lim??a?b?3?,x?1, n??1?21?4nx?1???a?b?3?,x??1.?21?a?b?2??a?b?3??1,?a?b??1,?a?0,??2故 ?,?,?. 1??a?b?2???a?b?3??1.??a?b??1.?b??1.??2 二.连续函数概念的应用 例1.设f(x)在R满足f(x)?f?kx??k?2,k?N?,且在x?0连续,证明:f(x)是 常数. 证明:?x?R,因为 ?x??x??x??x??x?f(x)?f?k???f???f?k?2??f?2??...?f?n?, ?k??k??k??k??k?
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