《数学分析选论》习题选
第十章. 多元函数微分学
1 试论下列函数在指定点的重极限，累次极限
x2y2（1） f(x,y)?22, (x0,y0)?(0,0)； 2xy?(x?y)11（2） f(x,y)?(x?y)sinsin, (x0,y0)?(0,0).
xy解 (1) 注意到 limf(x,y)?0 (x?0), limf(x,y)?0 (y?0)， 故两个累次极
y?0x?01111限均为0，但是, limf(,)?1, limf(,?)?0, 所以重极限不存在.
n??n??nnnn121(2) 注意到 f(,y)?0, f(,y)?ysin (n??), 故两个累次极限
n?(4n?1)?y不存在. 此外，因为 0?|f(x,y)|?|x|?|y|， 所以limf(x,y)?0.
(x,y)?(0,0)?x2?y2,(x,y)?(0,0)?xy2 设f(x,y)??x2?y2 证明:limf(x,y)?0.
(x,y)?(0,0)?0,(x,y)?(0,0).?x2?y2121222证明 对??0, 由于 |f(x,y)?0|?|xy2|?|x?y|?|x?y|, 2x?y22可知当0?x2?y2???2?时,便有 |f(x,y)?0|??. 故
(x,y)?(0,0)limf(x,y)?0.
x2y3 设 f(x,y)?4 证明：limf(x,y)不存在. 2(x,y)?(0,0)x?ymx4m证明 注意到, limf(x,y)?lim?2x?0(1?m2)x4(x,y)?(0,0),(y?mx2)1?m它随m而异，因此limf(x,y)不存在.
(x,y)?(0,0)4 讨论下列函数的连续性
?sin(xy),(x,y)?(0,0),?22（1）f(x,y)??x?y
?(x,y)?(0,0)?0,?2xy,(x,y)?(0,0),?22（2）f(x,y)??x?y
?0,(x,y)?(0,0)?解 （1）注意到 2|xy|?x2?y2， 有|f(x,y)|?因此,
(x,y)?(0,0)lim|sinxy|sinxyxy?||?||
xy22|xy|f(x,y)?0?f(0,0)，即f(x,y) 在（0，0）处连续.
1
11214（2）注意到 limf(,)?1, limf(,)?, 故f(x,y)在（0，0）处不连续.
n??n??nnnn522?1?ex(x?y),x2?y2?0?225 讨论函数f(x,y)??x?y 在点(0,0)处的偏导数的存在性.
??0,x2?y2?03ff(x,0)?f(0,0)1?ex解 由定义知： x(0,0)?limx?0x?0?limx?0x3??1,
flimf(0,y)?f(0,0)y?0y?0?lim0y(0,0)?y?0y3?0.
??16 试讨论函数 f(x,y)???ex2?y2,x2?y2?0,在(0,0)处的可微性.
??0,x2?y2?0解. 因为, f0)?limf(x,0)?f(0,0)x?(0,x?0x?limx?0x?1e?1/x2?0, ff(0,y)?f(0,y?(0,0)?lim0)y?0y?limy?0y?1e?1/y2?0,
所以, f(x,y)?f(0,0)?e?1/(x2?y2)?x2?y2?(x,y),
?1/(x2?y2)1/?2其中 ?(x,y)?ex2?y2?e???0, ??0， ??x2?y2,
由此知f(x,y)在(0,0)处可微.
7 设 z?ln(u2?v), 而 u?ex?y2, v?x2?y. 求?z??x, z?y. 和dz 解. 由于
?u?ex?y2, ?u2?v?v?y?2yex?y?x, ?x?2x, ?y
?1, 于是 ?z?x??z?u?u?x??z?v?v?x?22u2?v(uex?y?x), ?z?y??z?u?u?y??z?v?v?y?1u2?v(4uyex?y2?1). dz??z?z2?xdx??ydy?u2?v(uex?y2?x)dx?12u2?v(4uyex?y?1)dy. 8 设 (x?ay)dx?ydy(x?y)2是某可微函数的全微分，求a的值.
解 不妨设该可微函数为z?f(x,y)，则按定义可得
?z?x?x?ay?z(x?y)2，?y?y(x?y)2， 由此知z??y(x?y)2dy?g(x)?ln|x?y|?xx?y?g(x).
从而又得 ?z?x?1x?y?y(x?y)2?g?(x)?x?2y(x?y)2?g?(x). 联系到上面第一式，有
2
x?ayx?2yx?ayx?2ya?2?? 或 ??g(x)g(x)???y,
(x?y)2(x?y)2(x?y)2(x?y)2(x?y)2从而 a?2.
?2z?2zx9 设 z?f(x,). 求 2, .
y?x?x?y解 这里z是以x和y 为自变量的复合函数, 它可写成如下形式z?f(u,v),
xu?x, v?. 由复合函数求导法则知
y?z?f?u?f?v?f1?f . ?????x?u?x?v?x?uy?v于是
?2z??f1?f?2f?u?2f?v1?2f?u?2f?v?(?)?2??[?2] 2?x?uy?v?x?u?x?u?v?xy?v?u?x?v?x?2f2?2f1?2f, ?2??22y?u?vy?v?u?2z??f1?f?(?) ?x?y?y?uy?v?2f?u?2f?v1?f1?2f?u?2f?v?2??2?[?2]?y?u?v?y?vy?v?u?y?y?uy?vx?2fx?2f1?f??2?3?. 22y?u?vy?vy?v10设在R2上可微函数f(x,y)满足xfx?+yfy??0，试证：在极坐标系里f只是?的
函数.
?，y?rsin?, 由于 证 对于复合函数 u?f(x,y), x?rcos?u?u?fx?cos??fy?sin?， r?fx?rcos??fy?rsin?=xfx?+yfy??0， ?r?r?u?0，u?f(rcosx,rsinr)与r无关，即在极坐标系里f只是因此当r?0时，?r?的函数.
第十一章. 隐函数
xz?ln，求dz. zy?zz1x?zy1?z??解 方程两边对x求偏导，有?2, 因而 . ?xz?xzz?xzy?x1 设z?z(x,y)是由方程
?x?zy?1?zz?, ???2?2??z?yz?y?yy??zz2zz2因而 . 故 dz??dx?dy.
?z?x?y?y?z?x?yz?x 方程两边对y求偏导，有
3
?x2?y2?uv?0?u?v,. 2 设?, 求22?x?x?xy?u?v?0?2x?vux?uvx?0解 方程组两边对x求偏导得到 ?, 因此有
y?2uu?2vv?0xx?4xv?yu4xu?yv，。 u?x22222u?v2u?v?2y?vuy?uvy?0方程组两边对y求偏导得到?, 因此
x?2uu?2vv?0yy?vx????? uy?4yv?xu4yu?xv . ,v?y22222u?v2u?v?????2z23 设z?z(x,y)由方程 z?3xyz?a所确定，试求(z?xy).
?x?y?zyz解 对原方程两端对x求导，可得 ，从而知 ?2?xz?xy33?2z?z?zz(z4?2z2xy?x2y2)222. ?(z?xy)(z?y)?yz(2x?1)/(z?xy)?23?x?y?y?y(z?xy)?2z4 设z?z(x,y)由方程 z?y所确定，试求2.
?x解 对原方程取对数，得xlnz?zlny，并该式两端对x求导，有
x?z?z?zzlnzlnz??lny，即 ， ?z?x?x?xzlny?x再对上式两端对x求导，得
?2z1?z?z?z?((zlny?x)(lnz?)?z(lnz)(lny?1) 22?x(zlny?x)?x?x?xzln(lnz?2) ?z.
x(lnz?1)25 证明： 方程F(x?z/y,y?z/x)?0所确定的隐函数z?z(x,y) 满足
?z?zx?y?z?xy. ?x?y证明 对方程F(x?z/y,y?z/x)?0两边分别对x和y求偏导数，有
1?z1?zz1?zz1?zF1(1?)?F2(?2)?0，F1(?2)?F2(1?)?0.
y?xx?xxy?yyx?yxz?zy(zF2?x2F1)?zy(zF2?y2F1)分别解得 x?，y， ??xxF1?yF2?yxF1?yF2?z?zy(zF2?x2F1)?x(zF?y21F2)于是，得到 x?y??z?xy.
?x?yxF11?yF2x2y2z26 试求椭球面2?2?2?1内接最大长方体的体积.
abc解 易知，此内接长方体的六个面必分别平行于坐标平面。设此内接最大长方体
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在第一象限中的坐标为(x,y,z)，由对称性可知该长方体的体积为8xyz，从而问
x2y2z2题转化为求函数f(x,y,z)?8xyz在条件2?2?2?1下的最值问题。设辅助函
abcx2y2z2数为 F(x,y,z)?xyz??(2?2?2?1), x?0,y?0,z?0, 则有
abcx??F?yz?2??0x2?a?x2y2z2y??Fy??xz?2?2?0 2?2?2?1.
abcb?z??F?xy?2??0,?2cz?abc从中可得出唯一解 x0?，y0?， z0?。根据几何性质不难推知，该
333abc,)时达到最大体积 椭球面之内接长方体在第一象限的顶点为(,333abc8V?8????abc.
333337 求表面积为a2, 而体积最大的长方体的体积.
解 设长，宽，高分别为x,y,z，则问题变为求函数 V?xyz(x?0,y?0,z?0)的
最大值，联系方程为 2?xy?yz?xz??a2?0. 设辅助函数为 ??x,y,z,???xyz??2?xy?yz?xz??a2，则有
????x?yz???2y?2z??0???y?xz???2x?2z??0 ???xy??2y?2x?0??z??????2xy?2yz?2xz??a2?0?aa3解方程组得到x?y?z?，因而最大体积为V?.
666?tt，y?1?cost， z?4sin，在点p0（对应于t?）8 求空间曲线 x?t?sin
22处的切线方程和法平面方程.
??解 将t?代人参数方程，得点p0(?1,1,22)，该曲线的切向量为
22???T=（x?(),y?(),z?())?(1,1,2),
222?x??1y?1z?222??于是得切线方程为
112??法平面方程为 1?(x??1)?1(y?1)?2(z?2)=0，即 x?y?22??4.
229 求椭圆面x2?2y2?3z2?6在(1,1,1)处的切平面方程与法线方程.
解 设F(x,y,z)?x2?2y2?3z2?6. 由于Fx?2x,Fy?4y,Fz?6z在全空间上处
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