解 （1）由 P(x,y)?xf(x2?y2), Q(x,y)?yf(x2?y2) 可知
?Q(x,y)?P(x,y) ， (x,y)?D, ?2xyf?(x2?y2)??x?y其中D是L所围区域，由格林公式, 可得
?Q(x,y)?P(x,y) I???(?)dxdy?0.
?x?yD1?y2f(x,y)x[y2f(x,y)?1]（2）由 P(x,y)?, Q(x,y)? 可知，当y?0 2yy2?P(x,y)?Q(x,y)时，有 。 从而取点C(1,)。 并作AB，CB使ABCA形闭曲?3?y?x线，记ABCA 所围区域为D，于是
1?y2f(xy)x[y2f(xy)?1]1?y2f(xy)x[y2f(xy)?1]I??dx?dy??dx??dy 22yyyyABCAACCB132221?0??[?f(x)]dx??[f(y)?2]dy
322/333y??3??22/32f(t)dt??22/3f(y)dy?1??4.
8 求曲面z2?2xy被平面x?y?1,x?0,y?0截下部分之曲面面积S.
(x?y)2(x?y)2解 由z?2xy得 zx?y/z,zy?x/z，从而 1?zx?z?。 ?z22xy注意到该曲面上的点关于平面xoy对称，且其上半部分在平面xoy上的投影为区域D:0?x?1,0?y?1?x，从而有
22yS?2??D11?xx?yxdxdy?2?dx?(?00y2xy1y)dy x1(1?x)3?22?[x(1?x)?]dx
03x?2(1/2)? ?. ?229 计算曲面积分
??S(xy?yz?zx)dS, 其中S为圆锥面z?x2?y2被曲面
x2?y2?2ax所割下的部分. 解 对于圆锥面z?x2?y2，则
?z??xxx?y22，
?z??yyx?y22
S在xy平面上投影区域为Dxy：(x?a)2?y2?a2，于是
??(xy?yz?zx)dS?S2??[xy?(x?y)x2?y2]dxdy
Dxy2acos?0?2??/2??/2(sin?cos??sin??cos?)d???/20r3dr
?42a4??82a
4(sin?cos??sin??cos?)cos4?d?cos5?d??82a44?264?2a4. 5?315??/2011
10 计算 I???Seyx2?z2围成立体表面的外侧.
解 曲面S1取负侧，而投影区域为D1：x2?z2?1，于是应用极坐标可得 1dxdz??e?d??rdr??2e?，
rx2?z2x2?z2S1D100曲面S2取正侧，而投影区域为D2：x2?z2?2，于是应用极坐标可得 I1???dxdz????y2dxdz， 其中 S是由曲面y?x2?z2与平面y?1,y?2所
eye2?1I2???S2e22?x?zdxdz?e212d?rdr?22e?， ??r002于是, I?I1?I2?1(2?e)?.
11.求I???y(x?z)dydz?x2dzdx?(y2?xz)dxdy, 其中S是边长为a的正方体
S的外侧.
解 利用高斯公式, 得
I???y(x?z)dydz?x2dzdx?(y2?xz)dxdy
S????(y?x)dxdydz??dz?dy?(y?z)dx
Vaaa0001?a?(ay?a2)dy?a4.
0212 计算?(y?1)dx?(z?2)dy?(x?3)dz, 其中L是圆周x2?y2?z2?R2,
aLx?y?z?0，若从x轴正向看出，L是沿逆时针方向运行.
111,)，L围成S方程为解 平面x?y?z?0的法线方向单位向量为(,333?x2?y2?z2?R2, 依斯托克斯公式得， ?x?y?z?0,??(y?1)dx?(z?2)dy?(x?3)dz=??LSdydzdzdxdxdy???
?x?y?zy?1z?2x?3????dydz?dzdx?dxdy??3??dxdy??3?R2SS1??3?R2. 3 12