处连续, 在(1,1,1)处Fx?2,Fy?4,Fz?6, 于是, 得切平面方程为
2(x?1)?4(y?1)?6(z?1)?0,
x?1y?1z?1??即 x?2y?3z?6.法线方程为 . 123
第十三章. 重积分
21 设D是由直线 x?0,y?1,和 y?x围成, 试求 I???x2e?ydxdy的值.
D解 先对x积分后对y积分 I??dy?x2e?ydx?001y2113?y2yedy. ?03由分部积分法, 知 I?11?. 63eD2 设D是由矩形区域|x|?1，0?y?2围成, 试求I???|y?x2|dxdy的值.
?y?x2,解 由于 |y?x|??2?x?y,2y?x2y?x22 则
12I???|y?x|dxdy??dx?D021x20x?ydy??dx?2y?x2dy0x23218xdx??(2?x2)3/2dx???cos4tdt0330630 1813?5????(1?)??864 6343 设D={(x,y):y?0,x2?y2?1,x2?y2?2x?0}, 试求I???xydxdy的值.
??11
?/4D解 利用极坐标变换
I???xydxdy??D?/30d??2cos?1r2cos?sin?rdr1?/394(16cos??1)cos?sin?d??4?016
4 试用变量代换计算下面的积分
y
（1） I???(1?)2dxdy, D由y?0,y?x,x?y?1围成.
xDy（2）I???dxdy, D?{(x,y):x?0,y?0,x?y?1}.
31?(x?y)D解 （1）令u?x?y,v?y/x，则D变成D1?{(u,v):0?u?1,0?v?1，且积分
?成为（J?u/(1?v)2)11 1I???(1?v)2Jdudv???ududv??udu?dv?.002DD1
（2） 令u?x?y,v?x?y，则D变成D1?{(u,v):0?u?1,?u?v?u，且原积分成为
6
11duuI??(u?v)dv?2?1.401?u3??u
5 设f(x)是[a,b]上的正值连续函数，试证
f(x)2dxdy?(b?a)，其中D是 a?x?b，a?y?b. ??f(y)D证明 由于对上面区域变换积分变量记号时，积分区域不变，因此 f(x)1f(x)f(y)dxdy?[dxdy?dxdy] ??????f(y)2f(y)f(x)DDD1f(x)f(y)2[?]dxdy?dxdy?(b?a). ????2Df(y)f(x)Ddxdydz6 计算???2, 其中V为由平面x?1, x?2, z?0, y?x, 与z?y所围成. 2Vx?y解 V在oxy平面上的投影区域为D??(x,y):0?y?x,1?x?2?, 于是
2xy2xdxdydzdzydy12122x?dxdy?dx?ln(x?y)|dx?ln2. 0?????????22222210010122x?yx?yVx?y7 计算 I????z2dxdydz,
V其中 积分区域为 x2?y2?z2?a2，x2?y2?(z?a)2?a2的公共部分.
解法1 用球坐标计算积分，积分区域分解成；V?V1?V2，其中
??? V1??(r,?,?):0?r?a,0???,0???2??；
3?????? V2??(r,?,?):0?r?2aco?s,???,0???2??，
32??于是
2??/3a2222??/2I??d??d??rcos?rsin?dr??d?0000?/3?d?2acos?2022rcos?rsin?dr ?2?a526?a559527 =sin?cos?d??sin?cos?d???a. ?5?54800?/3解法2 用平行于0xy平面去截此V，得到的截痕为圆，因此，可用“先二后一”法，有
a/2a2?/3?/2I????zdxdydz?V2?z0dzax2?y2?2aZ?Z2??dxdy??za/22x2?y2?a2?z2??dxdy
a/2 =??(2az?z)zdz?022a/2222??(a?z)zdz?1?x2595?a. 4808 变换为球面坐标计算积分
?dx?010dy?2?x2?y2x?y22z2dz.
解 积分区域变换为球面坐标为 V??{(r,?,?):0?r?2,0???于是,
?4,0????2}.
7
?dx?011?x20dy?2?x2?y2x2?y2z2dz=??/20d???/40sin?d??r2cos2?r2dr
0222?/422?1??sin?cos2?d???. 05159 设函数f(t)连续，F(t)????[z2?f(x2?y2)]dv,
??dFF(t)和 lim2.
t?0?tdt解 因为区域?为柱状区域，被积函数中第二项为 f(x2?y2)，所以用柱坐标法比较方便．
其中?:0?z?h，x2?y2?t2，求
F(t)????zdv????f(x?y)dv??zdz22??h20x2?y2?t2??dxdy??th0dzx2?y2?t2??f(x2?y2)dxdy
00033dF23??ht?2?htf(t2). 利用洛必达法则, 有 于是, dt3F(t)?h2tf(t2)?h2lim2??lim2?h???hf(0). t?0tt?032t310. 求曲面x2?y2?z2被柱面z?y2与平面z?y?2所割下部分的面积.
?xy?xz解 曲面方程表示为 x?y2?z2, , , ??2222?y?zy?zy?z ??h3t?h?d??f(r)rdr?22?t2?h3t2?2?h?f(r2)rdr.
于是所求面积
2y?22?x2?x21?()?()dydz?22?dy?2dz?22?(y?2?y2)dy?92. D?1y?1?y?z
第十四章. 曲线与曲面积分
1 计算 ?yds， 其中L是摆线 x?a(t?sint), y?a(1?cost),
S=??L的一段 （a?0, 0?t?2? ）.
tx?2(t)?y?2(t)?2asin,
22?2?tt3220?t?2?, 则 ?yd=a. s?a(1?cost)2asindt?4a2?sin3dt?00L223dx?dy2 计算?，其中ABCDA为以A(1,0)，B(0,1)，C(?1,0)，D(0,?1)为
ABCDA|x|?|y|顶点的正方形封闭围线.
解 AB段：直线方程 y?1?x，0?x?1，
0dx?dydx?dy?AB|x|?|y|??1x?(1?x)?0.
BC段：直线方程 y?1?x，?1?x?0，
解 由x?(t)?a?acost, y?(t)?asint, 可得
8
?dx?dy?1dx?dxBC|x|?|y|??0?x?(1?x)??2.
CD段：直线方程 y??1?x，?1?x?0，
?dx?dy0dx?dxCD|x|?|y|???1?x?(1?x)?0.
DA段：直线方程 y??1?x，0?x?1，
?dx?dy1dx?dxDA|x|?|y|??0x?1?x?2. 于是有， ?dx?dyABCDA|x|?|y|=0 .
3 计算?Lxy2dy?x2ydx，其中L为四分之一x2?y2?a2(x,y?0)
的边界，依逆时针方向.
解 设??x?acos?sin?，??y?a0???2，则
? 原式＝?20?a3cos?sin2?acos??a3cos2?sin?asin??d?
?? ＝?24sin22?4402a4d??a24?0?1?cos4??d???a8. 4 解答下列问题
（1）设P(x,y), Q(x,y)是光滑弧AB上的连续函数，AB长度记为l，则|(x,y)dx?Q(x,y)dy|?lM， M?，
AB?p(xm,y)?aABx{P2?Q2} (2) 设L:x2?y2?R2， I?xdyR??ydxL(x2?xy?y2)2， 则Rlim???IR?0，
（3）设L是曲线 y?2x?x2 上从(0,0)到(1,1)之线段，证明:
I??L[y2x?x2?x(1?x)]ds?1.
解 (1) 注意到柯西不等式
|Pcos??Qsin?|?(P2?Q2)1/2(cos2??sin2?)1/2?(P2?Q2)1/2， I?|?AB(Pcos??Qsin?)ds|??AB|Pcos??Qsin?|ds
??2ABP?Q2ds?M??ABds?Ml。
（2）由于 P(x,y)?y(x2?xy?y2)2， Q(x,y)??x(x2?xy?y2)2， 可知 P2?Q2?x2?y2(x2?xy?y2)2. 采用极坐标，可得
P2?Q2?R114(R2?xy)2?R3(1?sin?cos?)2?R3(2?sin2?)2. 由此知 M?(mx,ya)?Lx{P2?Q2}?4R3, 利用题（1），有 9
48???0， (R???). R3R2dx（2） 因为 ds?1?(y?)2dx?，所以
22x?xdxdydx???2x?x2， cos???y??1?x。 cosdsdxds |IR|?2?R? I??(ycos??xcos?)ds??ydx. ?xdyLL将曲线L:y2?(x?1)2?1用参数式表示，即令 x?1?cost， y?sint，且取顺
时针方向为正，可知
?/2??I??{?sin2t?(1?cost)cost]dt???1??1.
0445 判别下列表达式(4x3y3?y2)dx?(3x4y2?2xy)dy.是否某函数的全微分，若是的话，求出这个函数.
?P?Q解 设P(x,y)?4x3y3?y2,Q(x,y)?3x4y2?2xy，因为, ?12x3y2?2y??y?x则(4x3y3?y2)dx?(3x4y2?2xy)dy是某函数u?x,y?的全微分.且 u?x,y??? ???x,y??0,0?0,y??4x?3y3?y2dx?3x4y2?2xydy
?x,y??0,y????0,0?0dy???4x?3y3?y2dx
? ?x4y3?xy2.
6 求I??[exsiny?y]dx?[excosy?1]dy, 其中C是点A(2,0)到点O(0,0)的上半
C圆周.
解 用ox轴上直线段oA, 使上半圆周和直线段oA构成封闭曲线. 设p(x,y)?exsiny?y, Q(x,y)?excosy?1.有
?Q?P??excosy?(excosy?1)?1. ?x?y于是,由格林公式知
I??aboa[exsiny?y]dx?[excosy?1]dy=??dxdy?D?2.
其中在直线段oA上, 有y?0, (0?x?2), 则
?oA[exsiny?y]dx?[excosy?1]dy?0.
.
2?oA27 计算下列积分 （1） I??f(x2?y2)(xdx?ydy)， L是R2中的一条简单光滑闭曲线，f(x)在R因此 I??L?[exsiny?y]dx?[excosy?1]dy??上连续可微.
21?y2f(xy)x[y2f(xy)?1]LA(3,)到点B(1,2)的直线 （2）I??，是从点dx?dy23yyL段, f是R上的连续函数.
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