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中 原 工 学 院 信 息 商 务 学 院 1?122010 ～2011学年 第 1 学期 B 3．行列式D=359的元素a22的代数余子式A22是（ ）。 09级S经管、S信息 专业 线性代数 课程期末考试试卷 卷 124题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 （A）2 (B) 1 (C) -2 (D) 0 ?1-11?4.设矩阵A=?一、判断题（每小题2?13-1??分，共10分） ??的三个特征值分别为?1,2,?3，则?1+?2+?3? ?111??1. 如果矩阵A?O,B?O, 则AB?O. ( ) （ ） （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 2. 齐次线性方程组AX?O，如A?0则方程组只有零解. （ ） 5．设A为5阶方阵，若r(A)?2，则齐次线性方程组AX?O的基础解系3. 对于四维向量组?1,?2,?3,?4，如果向量组?1,?2,?3线性相关，则中包含线性无关的解向量的个数是（ ） ?1,?2,?3,?4线性相关. （ ） （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 4.A,B是同阶方阵，且AB?0，则(AB)-1?B-1A-1三、填空题（每小题4分，共20分） 。 ( ) 1．已知向量?=(3,5,7,9),?=(-1,5,2,0)，如果?+?=?，则?= . 5. ??(2,3,1)T,??(1,?1,1)T为标准的正交向量组. ( ） 2 ．设A是3阶矩阵，且A?3,则?3A? 二、单项选择题（每小题4分，共20分） 1．设向量??(4,-1,2,-2)，则下列向量中是单位向量的是（ ） 3．设矩阵A?(aij)m?n,B?(bij)p?q, 则AB有意义的条件是_______. (A)1? 1?1??2???3 (B) 5? (C)19? (D)125? 4．设????4??，????2??12??t?，?3??3?线性相关，则t??(0,0,1)?________________； 2．向量组?1?(1,0,0)，?2?(0,1,0)，?3的秩为（ ） ?3?????1????1??（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 5．二次型f(x1,x2,x2223)?2x1?x2?x3?4x1x2?6x2x3的矩阵A? .
本试卷为 B 卷共4 页，此页为第 1 页
………… … … … 线 … … … 号…学…… … … … … … … … 名订姓…… … … … … … … … 级…班…装……………………四、计算题（共50分） 2．已知矩阵A满足关系式A?B?AB,求?B?E?-1（7分） ?1．求解矩阵方程 ?123??221??25??X???31??（7分） ??343????43?? . 2?310 3．计算行列式D?4?162 0400（7分） 57?10 本试卷为B卷共 4 页，此页为第 2 页
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4.向量组?1?(3,1,?1,4)，?2?(?7,?2,1,?11)，?3?(6,4,?10,?2)，?5．当?取何值时，方程组?x1?x2??x3?4??x21??x2?x3?? ?4?(1,?1,5,8)，?5?(5,3,?7,0) ??x1?x2?2x3??4（1）求向量组?（1）无解；（2）有唯一解；（3）有无穷多解,并求解.（10分） 1,?2,?3,?4,?5的秩 （2）求该向量组的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组 线性表示。（9分） 本试卷为 B卷共 4 页，此页为第3 页
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…?6.设实对称矩阵A??522? ?252??，求正交矩阵Q,使Q?1AQ为对角形??225??矩阵.（10分） 本试卷为B卷共 4 页，此页为第4 页
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……… … … … 线 … … … 号…学…… … … … … … … … 名订姓…… … … … … … … … 级…班…装……………………??1?24?13??1016?911?（2）当??4且???1时，r(A)?r(A,b)???0?1?64?4??016?44?3，方程组有唯一解。解为????0000?=B...... (4) ?00000????(??00000???0?00000?x??2)，x??2?2??4x??2??1??12??1，3??1......... (7) （1）得r(A)?r(B)?2，所以向量组?1,?2,?3,?4,?5的秩为2... (5) （3）当??4时，r(A)?r(A,b)?2?3，方程组有无穷多解，得方程（2）记B的列向量组为?1,?2,?3,?4，可以看出?1,?2线性无关，且组的通解为 ???x1?3?16?1?6?2，?4??9?1?4?2，?5?11?1?4?2，于是?1,?2是?x???0???3?2???4???k??1??1?（k1为任意实数）. ......... (10) ???x3????0????1??1,?2,?3,?4,?5的极大线性无关组. ............................... (7) ??5?2?2那么?1,?2是?1,?2,?3,?4,?5的一个极大线性无关组，且6.?E?A??2??5?2=0解得 ?1??2?3,?3?9 .... (3） ?2?2??5?3?16?1?6?2，?4??9?1?4?2，?5?11?1?4?2 ......... (9) T5．解：只做初等行变换得 当?1??2?3时，解得基础解系为?1?(1,?1,0) ?2?(1,0,?1)T，将?11?4?1?4?(A,b)????1?1?2???1?2?4?其单位正交化得?1116?12?4????0??11???1?0?22??? 1?(2,?2,0)T， ?(12T2?6,6,?)..... (6) ????8?? 当?1?3?9时，?3?(1,1,1)T,将其单位化得?3?(,1,1)T.....（8）??4??333 ?11??0??2???1?111??24??......... (3) ?263??4????002(??1)?(??4)???正交矩阵Q=???211???30?263? ，Q?1AQ??0?030?.... (10） ????(1) 当???1时，r(A)?2,r(A,b)?3?1??009??,原方程组无解。......... (5) ??0?263??本试卷为B卷答案 共 2 页，此页为第 2 页