复变函数复习提纲
(一)复数的概念
1.复数的概念：z?x?iy，x,y是实数, x?Re?z?,y?Im?z?.i??1.
2 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1）模：z?x2?y2；
2）幅角：在z?0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg?z?（多值函数）；主值arg?z?是位于(??,?] 中的幅角。
y之间的关系如下： xy 当x?0, argz?arctan；
x3）arg?z?与arctan?y?0,argz?arctan?? 当x?0,??y?0,argz?arctan??y??x； y??x4）三角表示：z?z?cos??isin??，其中??argz；注：中间一定是“+”号。
i?5）指数表示：z?ze，其中??argz。
(二) 复数的运算
1.加减法：若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则z1?z2??x1?x2??i?y1?y2? 2.乘除法：
1）若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则
z1z2??x1x2?y1y2??i?x2y1?x1y2?；
x1?iy?i?y?z1x1?iyx?xyy1??x221 ???12221?2iz2x2?iyx?iy?xiy?xy????22222222）若z1?z1e1,z2?z2ei?i?2?yy1x22x。 122?2x2y, 则
z1z2?z1z2ei??1??2?； z1i??1??2?z1 ?ez2z23.乘幂与方根
nin?i?1） 若z?z(cos??isin?)?ze，则z?z(cosn??isinn?)?ze。
nn 1
2） 若z?z(cos??isin?)?zei?，则
n??2k???2k???z?z?cos?isin?nn??1n(k?0,1,2?n?1)（有n个相异的值）
（三）复变函数
1．复变函数：w?f?z?，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.
2．复初等函数
1）指数函数：ez?ex?cosy?isiny?，在z平面处处可导，处处解析；且ez注：e是以2?i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）
3） 对数函数： Lnz?lnz?i(argz?2k?)(k?0,?1,?2?)（多值函数）；
主值：lnz?lnz?iargz。（单值函数）
z????ez。
1Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且?lnz???；
z注：负复数也有对数存在。（与实函数不同） 3）乘幂与幂函数：ab?ebLna(a?0)；zb?ebLnz(z?0)
b?1注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且zb????bz。
eiz?e?izeiz?e?izsinzcosz,cosz?,tgz?,ctgz?4）三角函数：sinz? 2i2coszsinzsinz,cosz在z平面内解析，且?sinz???cosz,?cosz????sinz
注：有界性sinz?1,cosz?1不再成立；（与实函数不同）
ez?e?zez?e?z,chz?4） 双曲函数 shz?； 22shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析，且?shz???chz,?chz???shz。
（四）解析函数的概念
1．复变函数的导数 1）点可导：f??z0?=lim?z?0f?z0??z??f?z0?；
?z2）区域可导： f?z?在区域内点点可导。 2．解析函数的概念
2
1）点解析： f?z?在z0及其z0的邻域内可导，称f?z?在z0点解析； 2）区域解析： f?z?在区域内每一点解析，称f?z?在区域内解析； 3）若f(z)在z0点不解析，称z0为f?z?的奇点；
3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；
（五）函数可导与解析的充要条件
1．函数可导的充要条件：f?z??u?x,y??iv?x,y?在z?x?iy可导
?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?可微，且在?x,y? 处满足C?D条件：
此时， 有f??z???u?v?,?x?y?u?v?? ?y?x?u?v?i。 ?x?x2．函数解析的充要条件：f?z??u?x,y??iv?x,y?在区域内解析
?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?在D内可微，且满足C?D条件：
此时f??z???u?v?,?x?y?u?v??； ?y?x?u?v?i。 ?x?x注： 若u?x,y?,v?x,y?在区域D具有一阶连续偏导数，则u?x,y?,v?x,y?在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足C?R条件时，函数
f(z)?u?iv一定是可导或解析的。
3．函数可导与解析的判别方法
1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1）
2）利用充要条件 （函数以f?z??u?x,y??iv?x,y?形式给出，如第二章习题2） 3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数f?z?是以z的形式给出，如第二章习题3）
（六）复变函数积分的概念与性质
1． 复变函数积分的概念：
?f?z?dz?lim?f????zcn??kk?1nk，c是光滑曲线。
注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。 2． 复变函数积分的性质 1）
?cf?z?dz????1f?z?dz （c?1与c的方向相反）；
c2） [?f?z???g?z?]dz???c?f?z?dz???g?z?dz,?,?是常数；
cc 3
3） 若曲线c由c1与c2连接而成，则3．复变函数积分的一般计算法 1）化为线积分：
?f?z?dz??f?z?dz??f?z?dz。
cc1c2c（常用于理论证明） ?f?z?dz??udx?vdy?i?vdx?udy；
cc2）参数方法：设曲线c： z?z?t?(??t??)，其中?对应曲线c的起点，?对应曲线c的终点，则
?cf?z?dz??f[z?t?]z?(t)dt。
??（七）关于复变函数积分的重要定理与结论
1．柯西—古萨基本定理：设f?z?在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则
??f?z?dz?0
c2．复合闭路定理： 设f?z?在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，c1,c2,?cn是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以c1,c2,?cn为边界的区域全含于D内，则
①
??f?z?dz????f?z?dz, 其中c与ccnk均取正向；
k?1ck②
?1，其中由及c(k?1,2,?n)所组成的复合闭路。 cfzdz?0??????3．闭路变形原理 ： 一个在区域D内的解析函数f?z?沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续
变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使f?z?不解析的奇点。
4．解析函数沿非闭曲线的积分： 设f?z?在单连域B内解析，G?z?为f?z?在B内的一个原函数，则
?z2z1f?z?dz?G?z2??G?z1?(z1,z2?B)
说明：解析函数f?z?沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。 5。 柯西积分公式：设f?z?在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于D，
z0为c内任意一点，则??f?z?dz?2?if?z0?
cz?z06．高阶导数公式：解析函数f?z?的导数仍为解析函数，它的n阶导数为
f?z?2?i?n? ?dz??c(z?z0)n?1n!f?z0?(n?1,2?)
其中c为f?z?的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D。 7．重要结论：
4
?2?i,1dz??n?1??(z?a)?0,c8．复变函数积分的计算方法
n?0n?0。 （c是包含a的任意正向简单闭曲线）
1）若f?z?在区域D内处处不解析，用一般积分法2）设f?z?在区域D内解析， ? ?
?cf?z?dz??f[z?t?]z??t?dt
??c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西—古萨定理，??cf?z?dz?0 c是D内的一条非闭曲线，z1,z2对应曲线c的起点和终点，则有
?cf?z?dz??z2z1f?z?dz?F?z2??F?z1?
3）设f?z?在区域D内不解析
?f?z?dz?2?if?z0????cz?z?0? 曲线c内仅有一个奇点：?（f(z)在c内解析）
f?z?2?i?n??dz?f?z0????c(z?z)n?1n!0?? 曲线c内有多于一个奇点：
??f?z?dz????f?z?dz（c内只有一个奇点zicnk）
k?1ck 或：
??f?z?dz?2?i?Res[f(z),z]（留数基本定理）
kck?1nf?z?? 若被积函数不能表示成，则须改用第五章留数定理来计算。
(z?zo)n?1（八）解析函数与调和函数的关系
?2??2?1．调和函数的概念：若二元实函数?(x,y)在D内有二阶连续偏导数且满足2?2?0，
?x?y?(x,y)为D内的调和函数。
2．解析函数与调和函数的关系
? 解析函数f?z??u?iv的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v为实部u的共轭调和函数。 ? 两个调和函数u与v构成的函数f(z)?u?iv不一定是解析函数；但是若u,v如果满足柯西—
黎曼方程，则u?iv一定是解析函数。
3．已知解析函数f?z?的实部或虚部，求解析函数f?z??u?iv的方法。
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