1dm?1m Res[f?z?,z]?lim[(z?z)f?z?] 0m?10(m?1)!z?z0dz 特别地，若z0是f?z?的一级极点，则Res[f?z?,z0]?lim(z?z0)f?z?
z?z0 注：如果极点的实际级数比m低，上述规则仍然有效。
P?z?法则II 设f?z??，P?z?,Q?z?在z0解析，P?z0??0,
Q?z?Q?z0??0,Q??z0??0，则Res[（十六）留数基本定理
P?z?P?z0? ,z0]??Q?z?Q?z0?设f?z?在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2?,zn外处处解析，c为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则
??f?z?dz?2?i?Res[f?z?,z]
cnn?1?说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数f?z?在c内各孤立奇点处留数的局部问题。
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积分变换复习提纲
一、傅里叶变换的概念
? ?
F[f(t)]??????f(t)e?jwtdt?F(w)
1??j?tF(?)ed??f(t) ???2?二、几个常用函数的傅里叶变换
F?1[F(?)]??
F[e(t)]?1
??j?1???(?) j?? F[u(t)]?? ?
F[?(t)]?1 F[1]?2??(?)
三、傅里叶变换的性质
? 位移性（时域）：F[f(t?t0)]?e? 位移性（频域）：F[ejw0t?jwt0F[f(t)]
w?w?w0f(t)]?F(w)?F(w?w0)
? 位移性推论：F[sinw0tf(t)]?? 位移性推论：F[cosw0tf(t)]?1[F(w?w0)?F(w?w0)] 2j1[F(w?w0)?F(w?w0)] 2? 微分性（时域）：F[f?(t)]?(jw)F(w) （t???,f(t)?0），
F[f(n)(t)]?(jw)nF(w)，t???,f(n?1)(t)?0
? 微分性（频域）：F[(?jt)f?t?]?F??w?,F[(?jt)nf(t)]?F(n)(w) ? 相似性：F[f(at)]?1w F() (a?0)aa四、拉普拉斯变换的概念
?
L[f(t)]????0f(t)e?stdt?F(s)
五、几个常用函数的拉普拉斯变换
1kt? L[e]?；
s?k?(m?1)m!1m?(m?(1)?1,?()??,?(m?1)?m?(m)） )? L[t]?是自然数；（m?1m?1ss2
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? ? ?
L[u(t)]?L[1]?1； sL[?(t)]?1 L[sinkt]?k,22s?kkL[shkt]?2,s?k2L[coskt]?s 22s?ksL[chkt]?2?
s?k2T1f(t)dt。? 设f(t?T)?f(t)，则L[f(t)]?（f(t)是以T为周期的周期函数）
1?e?Ts?0六、拉普拉斯变换的性质
? 微分性（时域）：L[f??t?]?sF?s??f?0?,L[f??(t)]?s2F(s)?sf(0)?f?(0) ? 微分性（频域）：L([)?tft]?Fs??? 积分性（时域）：L[???，L[(?t)nf?t?]?F(n)?s?
?t0f?t?dt]?F?s? s? 积分性（频域）：L[?f?t?]??F?s?ds（收敛）
st? 位移性（时域）：L[ef?t?]?F?s?a?at
? 位移性（频域）：L[f?t???]?e? 相似性：L[f(at)]??s?F?s?（??0,t?0,f(t)?0）
1sF() (a?0) aa七、卷积及卷积定理 ?
f1(t)*f2(t)??????f1(?)f2(t??)d?
? F[f1(t)?f2(t)]?F1(w)?F2(w) ? F[f1(t)?f2(t)]?1F1(w)?F2(w) 2?? L[f1(t)?f2(t)]?F1(s)?F2(s) 八、几个积分公式
? ? ? ?
????????f(t)?(t)dt?f(0) f(t)?(t?t0)dt?f(t0)
??f(t)dt??L[f(t)]ds??F(s)ds
00t?????0???0f(t)e?ktdt?L[f(t)]s?k
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