第十六章 坐标变换、参数方程和极坐标方程
16．1 坐标轴的平移 基础练习 1．已知双曲线的两条渐近线方程分别是3x?4y?2?0，2x?4y?10?0，实轴在平行于y轴的直线上，且实轴长为6，求双曲线方程，并写出顶点坐标和焦点坐标． 解：
?y?1?92??x?2?162?1，顶点坐标?2，4?,?2，?2?，焦点坐标为?2，6?，?2，?4?．
2．证明：二次函数y?ax2?bx?c的图形是一条抛物线．
解：（提示：把原方程化简，如果能化成抛物线的标准方程，就可以证明它是抛物线．）
2b14ac?b2设x??x?，y??y?，得x?2?y?．
aa4a3．已知抛物线的对称轴平行于y轴，顶点是（1，2），且过点（3，6），求抛物线方程． 解：设y?c?a?x?b?由顶点的定义知=b?1，c??2， 再将点的坐标代入可得y?x2?2x?3．
4．已知双曲线两顶点坐标是?2，1?，?2，?5?．虚轴长为8，求双曲线方程．
解：两个顶点的中点坐标M?2，?2?，所以双曲线的中心为?2，?2?，从而可以设双曲线为
2?y?2?a22??x?2?b22?1继而可得双曲线方程为
2?y?2?92??x?2?162?1．
5．已知两个定圆C1∶?x?8??y2?4和C2∶x2?y2?25，一动圆P和它们都相外切，求动圆的圆心P的轨迹方程．
0?，?0，0?的距离之差等于两圆的半径之差3，所以其轨迹为一解：由题，动圆的圆心到两圆圆心?8，0?，两焦点为?8，0?，?0，0?，从而可得轨迹方程为 双曲线的右支，其中心为?4，4?x?4?4y211????1?x≥?， 9552??2?x?2?6．椭圆
42y2??1的中心在直线y?3x?6上滑动，对称轴作平行移动， 2（1）求滑动时椭圆的方程．
（2）中心滑到何位置时，椭圆与直线y??x?6相交所得的弦长为42． 3?x?k?解：（1）
42?y?3k?6??22?1．
1?19??115?（2）k??，即中心为??，?或?，?．
2?22??22?7．已知△ABC的两个顶点A，B?x?2?是椭圆
1322?y?1??522?1的两个焦点，顶点C在抛物线y?x2?1上
移动．求△ABC的重心轨迹方程．
?4?a?2?a2?1?解：由题可得，A??10，设Ca，由重心坐标公式，重心G?，?1?，B?14，?1?，a?1，?，
33???2?所以△ABC的重心轨迹方程为?3x?4??3y?1．
8．已知抛物线y2??8?x?2?的焦点和准线分别是椭圆E的一个焦点和对应的准线，求这个椭圆的短轴端点的轨迹方程．
解：通过坐标变换分析，易知焦点为F?0，0?，准线为x?4． 设椭圆短轴的一个端点为P?x，y?，则a?x2?y2，c?x， 由点P到焦点F的距离与到准线的距离之比是e?2c知： axx2?y2，化简得x2?y2?x?x?4?x?0?，即y2??4x?x?0?． \\?x?4x2?y216．2 坐标轴的旋转变换 基础练习 1．设旋转解???π，求新坐标系中的两点A??3，2?，B?2，0?在原坐标系中的坐标． 4?252?B解：由坐标轴的旋转公式A???2，2??，
???2，?2．
?2．设旋转角??
π
，求原坐标系中的两点C?2，?1?，D?0，2?在新坐标系中的坐标． 6
?23?13?2?解：由坐标轴的旋转公式可得C?，D1，3． ，??2?2????3．按所给的角臼旋转坐标轴，变换下列各方程：
π?π???（1）x?y?0，????． （2）x?2y?0，?????．
4?2???π?π???（3）x2?y2?4，????． （4）x2?23xy?3y2?8，?????．
6?3???解：直接利用坐标旋转公式：
?cos?x??sin?y??x（1）将?代入得x??0．
sin?y??cos?x??y??cos?x??sin?y??x（2）将?代入得2x??y??0．
sin?y??cos?x??y??cos?x??sin?y??x（3）将?代入得x?2?y?2?4．
?sin?y??cos?x??y?cos?x??sin?y??x（3）将?代入得x?2?2．
?sin?y??cos?x??y4．利用坐标轴的旋转，化简下列方程，使其不含x?y?项． （1）x2?2xy?y2?22x?22y?0． （3）x2?4xy?y2?16．
（2）2x2?4xy?5y2?22?0． （4）21x2?103xy?31y2?144．
解：为使其不含x?y?项，对二次曲线Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0，旋转角?满足cot2??（1）cot2??A?C． BA?Cπ???， B4?cos?x??sin?y??x将?代入得x?2?2y??0． ?sin?y??cos?x??y（2）cot2??A?C21，cos??， ?sin??B55?cos?x??sin?y??x将?代入得6x?2?y?2?22． ?sin?y??cos?x??y（3）cot2??A?Cπ???， B4?cos?x??sin?y??x将?代入得5x?2?y?2?16． ?sinhy??cos?x??y（4）cot2??A?Cπ???， B6?cos?x??sin?y??xx?2y?2将?代入得??1．
sin?y??cos?x??y94?16．3 直线与圆锥曲线的参数方程 基础练习
2??x?m?2t，1．若参数方程?（t为参数）表示的抛物线焦点总在一条定直线上，这条直线的方程是
y?2m?22t??__________．
解：消去t，可得?y?2m??4?x?m?，从而其焦点所在定直线为y?2?x?1?．
2x2y22．给定椭圆2?2?1，如果存在过左焦点F的直线交椭圆于P，Q两点，且OP?OQ，则离心率eab的取值范围是__________．
?5?1?解：直接联立直线与椭圆方程求解，e的取值范围为?，1??． 2??33??3．设一椭圆中心为原点，长轴在x轴上，离心率为，若圆C:x2??y???1上点与这个椭圆上点
22??2的最大距离为1?7，试求这个椭圆的方程．
3??解：等价于圆心C：?0，?到椭圆上的点最大距离为7，
2??3x2y2x2y2?a?2b，则2?2?1． 设椭圆方程为2?2?1，e?2ab4bb3?1?1??任取椭圆上一点M?x，y?，则CM?x??y????3?y???4b2?3??b≤y≤b?，若b?，则当
2?2?2??22223?31?y??b时，CM取最大值，即??b???7．b?7??，故矛盾．
2?22?22112若b≥，则当y??时，CM取最大值，即4b2?3?7．
22x2b?1，a?4，则椭圆的方程为?y2?1．
4224．已知抛物线y2?2px及定点A?a，b?，B??a，0?，ab?0，b2?2pa，M是抛物线上的点，设直线
AM，BM与抛物线的另一个交点分别为M1，M2，当M变动时，直线M1M2恒过一个定点，此定点
坐标为__________．
22?y0??y2??y12?，y0?，M1?，y1?，M2?，y2?， 解：设M??2p??2p??2p?由A，M，M1共线得y1?by0?2pa2pa，同理B，M，M2共线得y2?，
y0?by0?b设?x，y?是直线M1M2上的点，则y1y2?y?y1?y2??2px，
2将以上三式中消去y1，y2，得：y0?2px?by??2pby0?a?x??2pa?by?2pa?．
当x?a，y?2pa?2pa?时上式恒成立，即定点为?a，?．
b?b?22sin2?cos2?1?5．已知：设a，b为正实数，?为参变量，则满足xsin??ycos??x?y且2?ab2x2?y2的点?x，y?的轨迹方程是__________． ?解：由辅助角公式，sin???arctan?y?x2y222，cos??2，所以点?x，y?的轨迹??1，知sin??2x?x?y2x?y2x2y2方程为2?2?1．
ab6．实数x，y满足4x2?5xy?4y2?5，设s?x2?y2，则
1Smax?1Smin的值为__________．
?8s?10?x?scos?解：易知s?x?y?0，设?，代入4x2?5xy?4y2?5，得sin2??．
5s??y?ssin?22于是
1131388s?1010101010????． ≤1，得≤s≤，故Smax?，Smin?，故
SmaxSmin101055s1333137．已知x2?y2?4，求S?1y?的值域． x2x1152解：设x?2sec?，y?2tan?，则S?cos2??sin????sin??2??，由此可知S???1，1?．
444能力提高
x2y28．过椭圆2?2?1?a?b?0?中心O作互相垂直的两条弦AC，BD，设点A，B的离心角分别为?1ab和?2（这里A的离心角是?1，等于说A的坐标为?acos?1，，求cos??1??2?的取值范围． bsin?1?）解：当AC，BD恰与坐标轴重合时，cos??1??2??0；
当AC，BD与坐标轴不重合时，令?xOA??1，?xOB??2，则?1??2?tan?1?tan?2??1．
?2?2k??k?Z?，故
由题意知A?bcos?1，asin?1?，B?bcos?2，asin?2?，
aa则tan?1?tan?1，tan?2?tan?2．故
bbcot??1??2?1?tan?1?tan?2a2?b2tan?1?tan?2 ??tan?1?tan?2ab?tan?1?tan?2?a2?b21a2?b2??z；
ab?cot?2?tan?22abcos??1??2?1a2?b2?1?≤1??．
1?cot2??1??l2??a2?b2?a2?b21????2ab?1?3?a2?b2取等号条件是tan?2?1，即BD的倾斜角为或时，故0≤cos??1??2?≤2．
44a?b2x2y21?在椭圆2?2?1的内部?a?b?，过P作椭圆的弦AB，证明：PA，PB中必有一9．设动点P?1，ab122个不超过ab?a2?b2．
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