?x?1?tcos?证明：弦AB所在直线的参数方程是?，
y?1?tsin??代入椭圆方程得b2cos2??a2sin2?t2?2?bcos??asin??t?a2?b2?a2b2?0，
??a2?b2?a2b2由韦达定理，上面方程两根t1t2满足：t1t2?2，
bcos2??a2sin2?a2b2?a2?b2a2b2?a2?b2122PAPB?t1t2?t1t2?2?≤ab?a2?b2?． 2222?2222bcos??asin??a?b?sin??bb所以，PA，PB中必有一个不超过1b?ab22?a2?b2?．
16．4 极坐标系 基础练习
1．在极坐标系中，作出下列各点的点：
π?π?2π????（1）A?3，?，B?2，?135??，C?5，?，D?4，π?，E?3.5，??．
223??????π?π?π?3π?????（2）A?2，?，B?2，?，C?2，?，D?2，π?，E?2，?，并说明这五个点有什么关系．
6?4?2?2?????π?π?π?π?π??????（3）A??1，?，B??2，?，C?2，?，D?3.6，?，E?7，?，并说明这五个点有什么关系．
3?3?3?3?3??????解：（1）略．
（2）五个点在以极点为圆心半径为2的圆上． （3）五个点在倾斜角
π且过极点的直线上． 32．若??R，请判断极坐标方程??f???和方程???f???π?的关系．
??，???，??π?，???，??π?均表示同一点． 解：这两个方程是等价的，??，??????3．已知A??3，?，B?3，?，O为极点，求△AOB的面积．
6?2???解：S△AOB?931． AOBOsin?AOB，易得S△AOB?424．从极点O作直线l与直线?cos??4相交于M，在OM上取点P，使得OM?OP?12，求点P的轨迹方程．
解：??3cos????0?． 能力提高
π??5．求圆心为C?a，?，半径为a的圆的极坐标方程．
2??解：??2asin??0≤??π?．
0??a?0?，且与极轴垂直的直线l的极坐标方程． 6．如图16?16，求经过点M?a，lρOθaP(ρ，θ)xM图 16-16
解：a??cos?．
7．已知直线l上三点的极坐标分别为A??1，?1?，B??2，?2?，C??3，?3?，且?1，?2，?3均为正数．求证： sin??2??3??sin??3??1??sin??1??2??0．
?1?2?3证：若l过极点O，则?1??2??3，结论成立．若l不过极点O，不妨设0??1??2??3，则由三解形面
111积公式得?1?2sin??2??1???2?3sin??3??1?，移项，两边除以?1?2?3即得．
22216．5 圆锥曲线的极坐标方程 基础练习
3的实轴长．
1?2cos?解：对照圆锥曲线的统一极坐标方程，知实轴长为2．
2．在极坐标系下，和圆??4sin?相切的一条直线方程为（ ）． （A）?sin??1 （B）?cos??2 （C）?sin??3 （D）?cos??4 1．求双曲线??解：由题，该圆的直角坐标方程为x2??y?2??4，所以x?2与该圆相切，故选B． 3．请判断极坐标方程??5342π??1?cos????34??253?4cos??4sin?所确定的曲线．
解：??，故曲线的离心率大于1，所以为双曲线．
π3与曲线C关于直线??对称，求曲线C的方程．
2cos??5sin?6
3解：?为极角，由极坐标的对称可得，??．
?π??π?2cos?????5sin?????3??3?4．曲线??6的直角坐标方程．
1?2cos?解：对照圆锥曲线的统一极坐标方程：ep?6，e?2，同时注意到其右焦点位于原点处，故为5．求双曲线???x?4?42y2??1． 12能力提高
6．过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F作弦P1P2，求解：由统一方程??11?的值． FPFP12p，设P?1?，P2??2，?1???， 1??1，1?cos?111?cos?1?cos?2pp???． 故?1?，?2?，得??1?2ppp1?cos?1?cos?x27．已知椭圆?y2?1，F为其左焦点，过F作两直线l1，l2分别交椭圆于P、Q和M，N且l1?l2，
2求四边形PMQN面积最大值和最小值．
2x2解：由?y2?1得a?2，b?1，c?1，e?，P?1，
221．
2?cos???3???????，N??4，???，其中???0，依题意，不忍妨设P??1， ??，则Q??2，????，M??3，2??．
22????以F为极点、Fx为极轴建立极坐标系，则椭圆方程为??所以PQ??1??2?1122??， 22?cos?2?cos?2?cos?1122， ??????2?sin2???2?cos????2?cos????2?2???1611620≤sin2?≤1，又由得：S?PQ?MN?≤S≤2．
28?sin22?9MN??3??4?当sin22??0时，S取最大值2；
16当sin22??1时，S取最小值．
9xyx2y28．已知椭圆??1，直线l：??1，P是l上的一点，射线OP交椭圆于点R，又Q在OP上且
1282416满足OQ?OP?OR，当点P在l上移动时，求Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． 解：以原点O为极点，x轴正方向为极轴建立极坐标系， 则椭圆和直线l的极坐标方程分别是?2?24824，． ??2?sin2?2cos??3sin?222设P??1，??，Q??，??，R??2，??，则由OQ?OP?OR得???1??， 即
24?48． ?22cos??3sin?2?sin?变形整理24?22?sin2??48??2cos??3sin??． 将其转换成直角坐标系即2x2?3y2?4x?6y?0． 1?，长轴长为10，短轴长为所以所求点轨迹是中心为?1，215的椭圆（除去原点）． 3??16．6 解析几何的综合运用 能力提高 1
．
已
知
两
曲
线
C1：?2A?2?x2??A?D?y2??A?D?C?x??B?2D?y?2?0与
C2：?2A?2?x2??C?D?y2??C?B?x??4D?2?y?1?0关于y轴对称，试判断它们是什么曲线． ?A?3??B??1423??解：C1：f?x，y?，C2：g?x，y?，f?x，y??g??x，y???54?2A?2?C?D，
C??23??D?13?23?所以是椭圆．
2．一抛物经的顶点和焦点分别是椭圆25x2?169y2?100x?338y?3956?0的左右焦点，求此抛物线的方程． 解：椭圆方程为
?x?2?1692?2?y?1?252?1，所以其左右焦点为??10，?1?，?14，?1?，
所以抛物线方程为?y?1??96?x?10?．
3．将曲线x2?3y2?2x?12y?23?0先向右平移一个单位，再向下平移两个单位，得曲线C．在直线x?y?8上取一点M，过M作与曲线C共焦点的椭圆，则所作的椭圆长轴最短时，求M点的坐标．
解：曲线C为x2?3y2?12，焦点为F1?4，0?，F2??4，0?．
点M的选取为到两点距离之和最小的点，作F1?4，0?关于直线x?y?8的对称点B?8，4?，连接F1B，3?，故M点的坐标为?5，3?． 交直线x?y?8于?5，4．如果双曲线x2?y2?2x?2y?1?0经过平移坐标轴后得新方程x?2?y?2?1，求新坐标系下的坐标原点在原坐标系下的坐标．
解：原双曲线为?x?1???y?1??1，经平移后双曲线中心变为?0，0?， ?1?． 故新坐标下的坐标原点在原坐标系下的坐标为?1，3x?4y??5，求圆C关于直线l对称的圆方程． 5．已知圆C：x2?y2?4x?12y?39?0和直线l：22解：考虑圆心的对称，?x?4???y?2??1．
6．抛物线y?x2沿x轴平移__________个单位（正方向为正），沿y轴平移__________个单位（正方向2x?y?5?0相切于?3，1?． 为正）后，与直线l：2?22?y?y0??x?x0?1?，所以解：??2x?5?y0??x?x0?的判别式等于零，又y?y0??x?x0?过点?3，??2x?y?5?022?x0，y0???2，0?．
7．设抛物线y2?4x向右平移一个单位，向上平移两个单位后与直线x?2y?b?0相切，求切点坐标． ?b??72??2??y?2??4?x?1?解：???y?2??4?2y?b??1的判别式等于零，解得?x?5． ??y?6?x?2y?b?0?8．已知椭圆5?x?3??30y2?150，试求对称中心到准线的距离． 解：中心?3，0?，准线x?3?3030?52，可得距离为6．
9．将椭圆C：?x?2?42y2??1在坐标平面上平行移动，使它的中心保持在y?3x?6上，当椭圆在2l：y?6?x截得弦长为1时，求中心的坐标．
解：椭圆C：?x?k?42??y?3k?y?22?1，联立l：y?6?x与椭圆方程，可以解得中心坐标为
?87387??87?387??6???16，16?6??或???16，?． 16????10．已知两个定圆C1：x2?y2?25和C2： ?x?8??y2?4，一动圆P与它们都相外切，求圆心P的轨迹．解：由题意，动圆的圆心到两圆圆心?8，0??0，0?的距离之差等于两圆的半径之差3， 0?，?0，0?， 所以其轨迹为一双曲线的右支，其中心为?4,0?，两点为?8，2从而可得轨迹为双曲线11．直线l到直线解：
442?x?4??y2?1的右支． 955xy??1的角为135?且和圆x2?y2?1相切，求l的方程． 32xy2??1?k0??． 323k0?k1??1?k?． 1?k0k5利用直线之间的到角公式可得：
设直线方程为：x?5y?m?0． 则m1?25?1?m??26，所以l的方程为x?5y?26?0或x?5y?26?0．
12．将曲线x2?3y2?12先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得曲线C．在直线l：x?y?8?0上任取点M，以曲线C的焦点为焦点，过M作椭圆，问：点M何处时，所作椭圆的长轴最短，并求
出具有最短长轴的椭圆方程．