2?3n?12?3n?111bn?n???,?n?2?
(3?1)2(3n?1?1)(3n?1)3n?1?13n?1?b1?b2?...?bn?
1111111?(1?2)?(2?3)?????(n?1?n)23?13?13?13?13?13?1?111??n?1 223?133．（ 海南省高考压轴卷理科数学）等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中
的某一个数,且其中的任何两个数不在下表的同一列. 第一行 第二行 第三行 第一列 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn}满足:bn=an+(﹣1)lnan,求数列{bn}的前2n项和S2n. 【答案】考点:数列的求和;等比数列;数列递推式. 专题:计算题.
分析:本题考查的是数列求和问题.在解答时:
(Ⅰ)此问首先要结合所给列表充分讨论符合要求的所有情况,根据符合的情况进一步分析公比进而求得数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)首先要利用第(Ⅰ)问的结果对数列数列{bn}的通项进行化简,然后结合通项的特点,利用分组法进行数列{bn}的前2n项和的求解. 解答:解:(Ⅰ)当a1=3时,不符合题意;
当a1=2时,当且仅当a2=6,a3=18时符合题意; 当a1=10时,不符合题意; 所以a1=2,a2=6,a3=18, ∴公比为q=3,
n﹣1
故:an=2?3,n∈N*.
n
(Ⅱ)∵bn=an+(﹣1)lnan
n﹣1nn﹣1
=2?3+(﹣1)ln(2?3)
n﹣1n
=2?3+(﹣1)[ln2+(n﹣1)ln3]
n﹣1nn
=2?3+(﹣1)(ln2﹣ln3)+(﹣1)nln3 ∴S2n=b1+b2++b2n
2n﹣12n2n
=2(1+3++3)+[﹣1+1﹣1++(﹣1)]?(ln2﹣ln3)+[﹣1+2﹣3++(﹣1)2n]ln3 =
2n
=3+nln3﹣1
2n
∴数列{bn}的前2n项和S2n=3+nln3﹣1.
34．（ 四川省高考压轴卷数学理试题）已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足
Sn?
1(1?an). 216
(1)求数列{an}的通项公式;
3 41111【答案】解:(Ⅰ)当n?2时,an?(1?an)?(1?an?1)??an?an?1,则
2222(2)若数列{bn}满足bn?nan,求证:b1?b2?...?bn?3an?an?1,
由题意可知an?1?0,所以{an}是公比为
an1? an?131的等比数列 311S1?a1?(1?a1),a1?
23111an??()n?1?()n
3331(II)证明:bn?n()n
31111设Tn?1?()1?2?()2?3?()3?...?n?()n
333311111∴Tn?1?()2?2?()3?3?()4?...n?()n?1 33333331313∴Tn??()n?n()n?1?
44323435．（ 安徽省高考压轴卷数学理试题）已知数列?an?满足a1?1，a2?3，且
an?2?(1?2|cosn?n?|)an?|sin| 22(n?N?)
(1)求a2k?1(k?N); (2)
数
列
2?yn?,
?bn?1? 2?yn?1?满足
yn?a2n?1，b1?y1,且当
n?2时,bn?yn??11??22?y1y2证明当n?2时,
bn?1bn1; ??(n?1)2n2n2(3)在(2)的条件下,试比较?1???1??1??1??1??1???????b1??b2??b3??1???1??与4的大小关?bn?17
系.
【答案】【解析】(1)设n?2k?1，k?N?, 由a2k?1??1?2|cos??(2k?1)?2(2k?1)??|?a2k?1?|sin|?a2k?1?1
2?即k?N?时,数列?a2k?1?是以a1为首项,1为公差的等差数列,所以
a2k?1?a1?(k?1)1?k(2)当n?2时,由bn?yn?因为yn?a2n?1?n 所以
23分.
?11??22yy2?11?bn11得???2?222ynny1y2?1?1, 2yn?1bn11???2n2y12y2111??2?22yn12?1?1①
(n?1)2?11② ?22(n?1)n所以
bn?111???222(n?1)y1y21111???2?222yn?1yn112②-①,得
bn?1bn1,所以原命题正确 ??222(n?1)nn1?2?4; b1(3)当n?1时,b1?y1?1,所以1?2?1??1?5y2当n?2时,b2?2?4,所以?1???1???2??4
4y1?b1??b2?1?bnbn?1bnbn?11?bnn21由(2)知,当n?2时,, ???,即?2,故
bn?1(n?1)2(n?1)2n2n2(n?1)2n所以,当n?3时,
?1??1??1?1??1??1?????????b1??b2??b3?1?b111?b21?b3??b1b2b3b4?11?2?1?2?2??23??1?1?b11?b21?b3??1??????b1b2b3?bn?1?bn bn1?bn?112232(1?bn)?2??2?2?bn434(n?1)2n2???bn?1n2(n?1)2③
11??(n?1)2n2??11分
18
因为
1111???(n?2), 2nn(n?1)n?1n??121123?(11?11?)??2(2?)?4??4 n?1n?nn14分.
所以③?2?1?(1?)?(?)??1??1??1?故?1???1???1???b1??b2??b3??1??1???4?bn?36．（ 上海市高考压轴卷数学（理）试题）本题共3小题,第(Ⅰ)小题4分,第(Ⅱ)小题6
分,第(Ⅲ)小题8分.
有n个首项都是1的等差数列,设第m个数列的第k项为
,公差为dm,并且a成等差数列. amk(,a,a,,am,k?1,2,3,,n, n≥3)1n2n3nnn≤m≤n(Ⅰ)证明d (3,p1,p2是m的多项式),并求p1?p2的值; ?pd?pdm1122(Ⅱ)当d时,将数列{dm}分组如下: 1, d31?2?(d), (d,d,)d, (d,,,ddd,)d,(每组数的个数构成等差数列).设前m组中所1234567894有数之和为(c)(c0),求数列{2mdm}的前n项和Sn. mm?c(Ⅲ)设N是不超过20的正整数,当n?N时,对于(Ⅱ)中的Sn,求使得不等式
1(Sn?6)?dn成立的所有N的值. 50
2013上海市 高考压轴卷
【答案】本题共3小题,第(Ⅰ)小题4分,第(Ⅱ)小题6分,第(Ⅲ)小题8分. 解:(Ⅰ)由题意知amn?1?(n?1)dm.
a2n?a1n?[1?(n?1)d2]?[1?(n?1)d1]?(n?1)(d2?d1),
同理,a3n?a2n?(n?1)(d3?d2),a4n?a3n?(n?1)(d4?d3),,
ann?a(n?1)n?(n?1)(dn?dn?1).
又因为a1n,a2n,a3n,故d2?d1?d3?d2?,ann成等差数列,所以a2n?a1n?a3n?a2n??ann?a(n?1)n.
?dn?dn?1,即{dn}是公差为d2?d1的等差数列.
所以,dm?d1?(m?1)(d2?d1)?(2?m)d1?(m?1)d2. 令p1?2?m,p2?m?1,则dm?p1d1?p2d2,此时p1?p2?1. (Ⅱ)当d1?1, d2?3时,dm?2m?1 (m?N*). 数列{dm}分组如下:(d1), (d2,d3,d4), (d5,d6,d7,d8,d9),按分组规律,第m组中有2m?1个奇数,
.
19
所以第1组到第m组共有1?3?5?注意到前k个奇数的和为1?3?5?224?(2m?1)?m2个奇数. ?(2k?1)?k2,
所以前m2个奇数的和为(m)?m. 即前m组中所有数之和为m4,所以(cm)4?m4.
因为cm?0,所以cm?m,从而 2mdm?(2m?1)?2m(m?N*). 所以 Sn?1?2?3?22?5?23?7?24?c?(2n?3)?2n?1?(2n?1)?2n.
2Sn?1?22?3?23?5?24??(2n?3)?2n?(2n?1)?2n?1.
?2?2n?(2n?1)?2n?1
故?Sn?2?2?22?2?23?2?24??2(2?22?23??2n)?2?(2n?1)?2n?1
2(2n?1)?2??2?(2n?1)?2n?1?(3?2n)2n?1?6.
2?1所以 Sn?(2n?3)2n?1?6.
(Ⅲ)由(Ⅱ)得dn?2n?1 (n?N*),Sn?(2n?3)2n?1?6 (n?N). 故不等式
*1(Sn?6)?bn 就是(2n?3)2n?1?50(2n?1). 50n?1考虑函数f(n)?(2n?3)2?50(2n?1)?(2n?3)(2n?1?50)?100.
n?1当n?1,2,3,4,5时,都有f(n)?0,即(2n?3)2而f(6)?9(128?50)?100?602?0,
?50(2n?1).
注意到当n≥6时,f(n)单调递增,故有f(n)?0. 因此当n≥6时,(2n?3)2n?1?50(2n?1)成立,即
1(Sn?6)?dn成立. 50所以,满足条件的所有正整数N?5,6,7,,20.
37．（ 重庆省高考压轴卷数学理试题）若对于正整数k,g(k)表示k的最大奇数因数,例如
g(3)?3,g(10)?5.设Sn?g(1)?g(2)?g(3)?g(4)??g(2n).
(Ⅰ)求g(6),g(20)的值;(Ⅱ)求S1,S2,S3的值;(Ⅲ)求数列?Sn?的通项公式.
20