12、定义在R上的可导函数f(x)其导函数记为f'(x)，满足f(x)?f(2?x)?(x?1)2且当x?1时恒有f'(x)?2?x，若f(m)?f(1?m)??3m，则实数m的取值范围是（ D ）
A. (??,1] B. (?,1] C. [1,??) D. (??,] 二、填空：（共4题计20分） 13、若log2(a?2)?2，则3a＝ 9 2sinB?3sinC，14、在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知： b-c?a，
32131214则cosA的值为 ?
15、设直线x?m与函数f(x)?x2?1，g(x)?x?lnx的图象分别交于P,Q两点，则｜PQ｜的最小值为 1 16、数列?logkan?是首项为4，公差为2的等差数列，其中k?0，且k?1，设
Cn?anlgan，若?Cn?中的每一项恒小于它后面的项，则实数k的取值范围为
(0,6)?(1,??) 314三、解答题（共六题，计70分）
17、（10分）设A??x|?x2?3x?10?0?，B??x|m?1?x?2m?1?，B?A （1）求A；
（2）求实数m的取值范围
解：（1）A??x|?2?x?5?——————3分
（2）①当B??时，则2m?1?m?1，即m?2满足B?A———5分
?2m?1?m?1?m?2??②当B??时，要使B?A，则有?m?1??2即?m??3故2?m?3
?2m?1?5?m?3??综上所述，m的取值范围为(??,3]——————10分 18、（12分）已知：cos??，cos(???)?1713?，且0????? 142（1）求tan2?；（2）求?。 解：（1）由cos??,0???∴tan??17?2得sin??1?cos2??1?()2?1743 2分 7sin?43??7?43 cos?7∴tan2??2tan?2?4383——————6分 ???221?tan?1?(43)47（2）由0?????又cos(???)??2得0??????2
131333 ∴sin(???)?1?cos2(???)?1?()2? 9分 141414由????(???)得cos??cos[??(???)]?cos??cos(???)?sin??sin(???)
?1134331??3?? 7147142∴???3 ——————12分
lnx x19、（12分）已知函数f(x)?（1）试确定f(x)在(0,??)上的单调性；
（2）若a?0，函数h(x)?xf(x)?x?ax2在（0,2）上有极值，求实数a的取值范围。 解：（1）f'(x)?1?lnx，令f'(x)?0得x?e ——————2分 x2∴当x?(0,e)时f'(x)?0，x?(e,??)时f'(x)?0
∴f(x)的增区间为(0,e)，减区间为(e,??)——————5分
1?2ax2?x?1（2）h(x)?lnx?x?ax ∴h'(x)??1?2ax?———7分
xx2设?(x)??2ax2?x?1
易知?(x)的图象的对称轴为直线x??1，开口向下 4a故?(x)在(0,2)上单调递减 ∵?(0)?1?0 结合题意可知：?(2)?0 解得：a??，又a?0
18∴实数a的取值范围是(0,??) ——————12分
20、（12分）已知：f(x)?3cos2x?2sin(??x)sin(??x),x?R （1）求f(x)的最小正周期及单调递增区间
（2）已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且f(A)??3，a?3，求32BC边上的高的最大值；
解：（1）f(x)?3cos2x?sin2x??2sin(2x??3)
∴f(x)的最小正周期为? 由2k???2?2x??3?2k??23?，k?Z得 k??512??x?k??1112?，k?Z ∴f(x)的增区间是??5?k??12?,k??1112????，k?Z ———6分 （2）由f(A)??3，得sin(2A??33)?2，∵A?(0,?2)
∴2A???(??,2?)?333 ∴2A?3??3 ∴A??3 ———8分
由余弦定理得：a2?b2?c2?2bccosA，则9?b2?c2?bc?bc 即bc?9（当且仅当b?c取等号） ———10分 设BC边上的高为h，则1ah?122bcsinA 得3h?3332bc?h?6bc ∴h?23 即h的最大值为
332 ———12分 21、（12分）已知等差数列?an?的前n项和为Sn，a2?2，S5?15，数列b1?11?n2，bn?1?2nbn，(n?N*)，数列?bn?的前n项和为Tn （1）求数列?an?的通项公式及前n项和； （2）求数列?bn?的通项公式及前n项和；
?bn?满足：
2Sn(2?Tn)?（3）记集合M??n|??,n?N*?，若M的子集个数为16，求实数?的取??n?2?值范围。
解：（1）设数列?an?的公差为d，由题意知：?n2?n∴an?n，Sn? ———3分
2?a?1?a1?d?2解得?1
?d?1?5a1?10d?15（2）由题意得：当n?2时bn?12bn?11n?1 ??bn2nbnbn?1b1nn?12n????2?b1?()n?(????)?n bn?1bn?2b12n?1n?212n 2n又b1?也满足上式，故bn?故Tn??1223n???? ——① 22332n112n?1nTn?2?3???n?n?1 ——② 22322①－②得：Tn??1212111n????? 22232n2n?111(1?n)2?n?1?n?2 ＝2n?1n?11221?2∴Tn?2?n?2 ———7分 2n2Sn(2?Tn)n2?nn2?n?（3）由（1）（2）知：，令f(n)?n,n?N*
n?22n2则f(1)?1，f(2)?，f(3)?，f(4)?，f(5)?32325415 16(n?1)2?n?1n2?n(n?1)(2?n)??∵f(n?1)?f(n)?
2n?12n2n?1∴当n?3时f(n?1)?f(n)?0，f(n?1)?f(n) ∵集合M的子集个数为16 ∴M中的元素个数为4
n2?n∴n??,n?N*的解的个数为4
2∴
15???1 ———12分 1622、已知函数f(x)?ex,x?R
（1）求f(x)的反函数的图象在点（1，0）处的切线方程； （2）证明：曲线y?f(x)与曲线y?x2?x?1有唯一公共点； （3）设a?b，比较f(a?bf(b)?f(a))与的大小； 2b?a12解：（1）f(x)的反函数为g(x)?lnx，设所求切线的斜率为k ∵g'(x)? ∴k?g'(1)?1
∴所求切线方程为：y?x?1 ———3分
（2）曲线y?ex与y?x2?x?1公共点的个数等于?(x)?ex?x2?x?1零点的个数 ∴?(0)?1?1?0 ∴?(x)存在零点x?0
又?'(x)?ex?x?1，令h(x)??'(x)?ex?x?1，则h'(x)?ex?1 当x?0时h'(x)?0 ∴?'(x)在(??,0)上单调递减 当x?0时h'(x)?0 ∴?'(x)在(0,??)上单调递增 ∴?'(x)在x?0处有唯一的极小值?'(0)?0 即?'(x)在R上的最小值为?'(0)?0 ∴?'(x)?0（当且仅当x?0时等号成立） ∴?(x)在R上是单调递增的 ∴?(x)在R上有唯一的零点
∴曲线y?f(x)与y?x2?x?1有唯一的公共点 ———8分
f(b)?f(a)a?beb?ea?f()??e（3）
b?a2b?aa?b21x121212
eb?ea?be?ae=
b?aa?b2a?b2aa?b?b??e22???e?e?(b?a)? b?a??a?b2设函数U(x)?ex?U'(x)?ex?1?2x(x?0)则 ex11x?2?2e??2?0 xxee∴U'(x)?0（当且仅当x?0时等号成立） ∴U(x)单调递增 当x?0时，U(x)?U(0)?0
b?a令x?，则x?0，故e2b?a2?ea?b2?(b?a)?0
∴
f(b)?f(a)a?b?f() ———12分
b?a2