1、（北京文科19）已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2?3y2?4上，C在直线l：y=x+2上， 且AB∥l．
（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．
解：（Ⅰ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x.
设A，B两点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).
?x2?3y2?4,由?得x??1,
y?x?所以
AB?2x1?x2?22.
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离， 所以h?2.S?ABC?1AB?h?2. 2（Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m.
?x2?3y2?4,由?得4x2?6mx?3m2?4?0. ?y?x?m因为A，B在椭圆上， 所以???12m2?64＞0.
设A，B两点坐标分别为（x1,y1），（x2,y2）.
3m3m2?4, 则x1?x2??,x1x2?24
BC?所以
32?6m2AB?2x1?x2?.
2又因为BC的长等于点（0,m）到直线l的距离，即
2?m2.
AC?AB?BC??m2?2m?10??(m?1)2?11.
222
所以
所以当m=-1时，AC边最长.（这时???12?64＞0） 此时AB所在直线的方程为y=x-1.
2、（福建厦门理工学院附中·2010届高三12月考（文））
已知椭圆E的焦点在x轴上，长轴长为4，离心率为（1）求椭圆E的标准方程；
（2）已知点A(0,1)和直线l：y?x?m，线段AB是椭圆E的 一条弦且直线l垂直平分弦AB，求点B的坐标和实数m的值．解：（Ⅰ）由2a＝4，得a＝2
c离心率为a32．
＝32，c＝3………………………2分
b2?a2?c2＝1
x2y23、椭圆C:2?2?1(a?b?0)的长轴长是短轴长的两倍，且过点
abA(2,1)
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l:x?1?y?0与椭圆C交于不同的两点M,N，求MN的值.
【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。
x2y2（1）由条件a?2b，所以C:2?2?1，代入点(2,1)可得b?2 4bb（2）联立椭圆和直线方程可得直线5x2?8x?4?0，所以
84x1?x2?,x1x2??55，结合相交弦的公式得到结论。
x2y2解：（1）由条件a?2b，所以C:2?2?1，代入点(2,1)可得b?2，4bbx2y2椭圆C的标准方程为??1；
82（2）联立椭圆和直线方程可得直线5x2?8x?4?0，所以 x1?x2?8,x1x2??4 55由相交弦长公式可得MN4、离心率为55?2(x1?x2)2?4x1x2?1225 x2y2的椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分ab别为F1(?1,0)、F2(1,0)，O是坐标原点． （1）求椭圆C的方程；
N，（2）若直线x?ky?1与C交于相异两点M、且OM?ON??31，9求k．(其中O是坐标原点)
【解析】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的综合应用，其中根据已知条件求出椭圆的标准方程是解答本题的关键．
（1）利用椭圆的几何性质可知道参数a,b,c的值，进而求解得到。
?x?ky?1（2）由?2?(5k2?4)y2?8ky?16?0?0 2?4x?5y?20结合韦达定理得到向量的关系式以及参数k的值。解：（1）依题意得
?a2?b2?c2?5?c??5?a??c?1
----------------3分
?a2?5x2y2解得?2，故椭圆C的方程为??1---------654?b?4分 分
（Ⅱ）由??x?ky?122?(5k?4)y?8ky?16?0?0-------722?4x?5y?20?8k?y?y?22?14k?5 ------8设M(x1,y1)，N(x2,y2)则??16?y1y2?24k?5?2分
?20k2?5?x1x2?(ky1?1)(ky2?1)?ky1y2?k(y1?y2)?1? 4k2?5?20k2?1131?OM?ON?x1x2?y1y2??? --------10294k?5分
?k2?1，从而k??1 ------------- 12分
5、椭圆x2y2??1的左、右焦点分别为F1 、F2，直线l经过点F143与椭圆交于A,B两点。 （1）求?ABF2的周长；
（2）若l的倾斜角为?，求?ABF2的面积。
4【解析】本题考查三角形周长的求法和三角形面积的计算，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆的性质，注意椭圆定义、韦达定理在解题中的合理运用． （1）由椭圆的定义，得AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a，又AF1+BF1=AB，所以，△ABF2的周长=AB+AF2+BF2=4a．再由a=4，能导出△ABF2的周长．
（2）由F1（-1，0），AB的倾斜角为? ，知直线AB的方程
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为
?y?x?1,y=x+1．由 ? ?x2y2?1,???43消去x，得7y-6y-9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），借助韦达定理能够求出△ABF2的面积． 解：（1）由椭圆的定义，
得|AF1|?|AF2|?2a，|BF1|?|BF2|?2a， ----------2分 又|AF1|?|BF1|?AB，所以?ABF2的周长 为|AB|?|AF2|?|BF2|?4a。--------4分
又因为a2?4，所以a?2，故?ABF2的周长为8-----5分 （2）由条件，得F1(?1,0)，因为AB的倾斜角为?，所以AB斜
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