率为1，
故直线AB的方程为y?x?1。-----------------6分
?y?x?1,由?消去x，得7y2?6y?9?0， ………………8?x2y2?1,???43分
设A(x1,y1),B(x2,y2)，解得y1?3?672,y2?3?627， …10分
所以S?ABF2?11122122|F1F2|?y1?y2??2??2277…………12分
y2x26、直线l与椭圆2?2?1(a?b?0)交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，已
ab知m?(ax1,by1)，n?(ax2,by2)，若m?n且椭圆的离心率e?椭圆经过点(3,1)，O为坐标原点． 23，又2（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l过椭圆的焦点F(0,c)（c为半焦距），求直线l的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：?AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 【解析】(I)由e和椭圆过点(3,1)可得到关于2a,b的两个
方程，从而解出a,b值求出椭圆的方程. (II) 设l的方程为y?kx?3，由已知m?n?0得：
a2x1x2?b2y1y2?4x1x2?(kx1?3)(kx2?3) ?(4?k2)x1x2?3k(x1?x2)?3=0 然后直线方程与椭圆方程联立消y后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理建立关于k的方程求出k值.
(III)要讨论AB斜率存在与不存在两种情况.研究当AB斜率存在时，由已知m?n?0，得4x12?y12?0?y12?4x12,又A(x1,y1)在椭圆上， 所以
S?4x122x??1?|x1|?,|y1|?24221,从而证明出
11|x1||y1?y2|?|x1|2|y1|?1为定值. 22?ca2?b23e????aa2 解：（Ⅰ）∵???1?3?1??a24b2 ……2分
∴a?2,b?1 ∴椭圆的方程为y2?x2?1……………34分
（Ⅱ）依题意，设l的方程为y?kx?由
?y?kx?3?2?(k2?4)x2?23kx?1?0 ?y2??x?1?43 显然??0
x1?x2??23k?1,xx? 1222k?4k?4 ………………5分
由已知m?n?0得：
a2x1x2?b2y1y2?4x1x2?(kx1?3)(kx2?3)?(4?k2)x1x2?3k(x1?x2)?3 ?(k2?4)(?1?23k)?3k??3?0 22k?4k?4
解得k??2 ……………………6分
（Ⅲ）①当直线AB斜率不存在时，即x1?x2,y1??y，
2由已知m?n?0，得4x12?y12?0?y12?4x12 又A(x1,y1)在椭圆上， 所以
S?4x122x??1?|x1|?,|y1|?2 422111|x1||y1?y2|?|x1|2|y1|?1 22,三角形的面积为定值．……7分
②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y?kx?t
?y?kx?t?2222?(k?4)x?2ktx?t?4?0 ?y2??x?1?4必须??0 即4k2t2?4(k2?4)(t2?4)?0
?2ktt2?4得到x1?x2?2，x1x2?2 k?4k?4 ………………9分
∵m?n，∴4x1x2?y1y2?0?4x1x2?(kx1?t)(kx2?t)?0 代入整理得：2t2?k2?4 …………10分
S?1|t|1|AB|?|t|(x1?x2)2?4x1x121?k22 …………11分
|t|4k2?4t2?164t2???1k2?42|t| 所以三角形的面积为定
值． ……12分 7、已知椭圆方程为M(0,1)，离心率e?x2y2??1(a?b?0)a2b2，它的一个顶点为
63．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l
的距离为3，求△AOB2面
积的最大值．
【解析】本试题主要是考查了椭圆方程的求解以及直线与椭圆位置关系的综合运用。 （1）设c?a2?b2，
a?b6?a322?b?1依题意得??ce???a?……2?a?3分 解得?，解得。 ???b?1（2）联立方程组，结合韦达定理和三角形的面积公式得到结论。 解：（1）设c??b?1依题意得??c?e??a?a2?b2，
……………2分
分 分
a2?b26?a3?a?3解得? …………………………3???b?1x2?椭圆的方程为?y2?1. ……………4
3（2）①当AB?x轴时,|AB|?②当AB与x轴不垂直时，
3. ……5分
设直线AB的方程为y?kx?m,A(x1,y1),B(x2,y2)， 由已知|m|1?k2?33,得m2?(k2?1), ……………6
42分
把y?kx?m代入椭圆方程，整理得 (3k2?1)x2?6kmx?3m2?3?0,
?6km3(m2?1)?x1?x2?2,x1x2?. ……………7
3k?13k2?1分
36k2m212(m2?1)?] ?|AB|?(1?k)(x2?x1)?(1?k)[222(3k?1)3k?1222212(1?k2)(3k2?1?m2)3(k2?1)(9k2?1) ??2222(3k?1)(3k?1)12k2?3?2?3?29k?6k?11212?4. (k?0)?3?12?3?69k2?2?6k13,即k??3k2当且仅当
9k2?时等号成立，此时
分
|AB|?2. ……………………………10
③当k?0时,|AB|?此
S?3.…．．11
分 综上所述：|AB|max?2， 积
取
最
分 大
值
时
?AOB面
133|AB|max??. …………………………12222x2y28、已知直线y??x?1与椭圆2?2?1(a?b?0)相交于A,B两点。
ab若椭圆的离心率为【答案】AB?8353，焦距为2，求线段AB的长。 3 【解析】本试题主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用。联立方程组，结合韦达定理以及椭圆的几何性质先求解出a,b的值然后利用弦长公式解得AB的长度。 7．(本小题满分10
x2y2分)求以椭圆??1的焦点为顶点，以椭
85圆的顶点为焦点的双曲线的方程．
x2y2【答案】a?3,c?5,b?2则双曲线的方程为??1 32