【解析】本试题主要是考查椭圆方程以及几何性质与双曲线方程的求解的综合运用。根据椭圆的方程为a?8,b?5,x2y2??1可知85则c?3。再结合两者的关系可知双曲线中
x2y2?1 a?3,c?5,b?2,则双曲线的方程为?32解：由椭圆的方程为又因为双曲线以椭圆x2y2??1可知a?8,b?5,则c?3, 85x2y2以椭圆的顶点为??1的焦点为顶点，85焦点，所以可知双曲线中a?x2y2??1 323,c?5,b?2,则双曲线的方程为9、在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0,离之和等于4，设点P的轨迹为C。 （1）求出C的轨迹方程；
（2）设直线y?kx?1与C交于A、B两点，k【答案】（1）（2）k??1 23),(0,?3)的距????????为何值时OA?OB？
y2?x2?1 4【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。 （1）因为点P到两点(0,P的轨迹为C。
符合椭圆的定义，因此可知a,c的值得到椭圆的方程。 （2）设直线与椭圆方程联立方程组，然后结合韦达定理得到根与系数的关系，进而得到k的值。
3),(0,?3)的距离之和等于4，设点
解：（1）y2?x2?1 4 ……（5分）
（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)
?2y2x??1由?得(k2?4)x2?2kx?3?0，??0恒成立 4??y?kx?1??2k?x?x???12k2?4?? ?3?xx?12?k2?4??????????????????OA?OB?OA?OB?0?x1x2?y1y2?0?x1x2?(kx1?1)(kx2?1)?0
?3(k2?1)?2k2?k2?41?(k?1)x1x2?k(x1?x2)?1??0?k?? k2?422????????1∴当k??时OA?OB
2……（13分）
210、已知椭圆的焦点是F1(?1,0)和F2(1,0)，又过点(1,3)． (1)求椭圆的离心率；
(2)又设点P在这个椭圆上，且|PF1|?|PF2|?1，求?F1PF2的余弦的大小.
x2y213e? ；cos?F1PF2? 【答案】（1）方程为??1， （2）2543【解析】(1)由已知条件可知
2c,然后根据
P(1,3),|PF1|+|PF2|=2a,求出a值，则离心率确定.
(2)根据|PF1|+|PF2|=4, |PF1|?|PF2|?1,|F1F2|=2，根据余弦定理可求出?F1PF2的余弦值.
x2y26??1(a?b?0)11、已知椭圆a2b2的离心率为3，长轴长为23，直线l:y?kx?m交椭圆于不同的两点A、B. （1）求椭圆的方程；
（2）求m?1,且OA?OB?0,求k的值（O点为坐标原点）； （3）若坐标原点O到直线l的距离为大值.
x2?y2?1.【答案】（1）3 32，求?AOB面积的最
（2）
3?k??3
（3）
?当|AB|最大时，?AOB的面积最大值c6?a3S?133?2??222
【解析】（1）依题意得x2?y2?1为3 a?3,，所以c?2,b?1.椭圆方程
（2）直线方程与椭圆方程联立，保证
x1?x2????0,，求出
36k????????k??,xx?01231?3k2，利用OA?OB?0，可得 （3）由原点O到直线l的距离为33m2?(1?k2)2得4.直线方程与
6km3m2?3x1?x2??,x1x2?.22??0,1?3k1?3k，利椭圆方程联立，保证，求出3(k2?1)(9k2?1)12k2|AB|??3?4222222|AB|?(1?k)(x?x)(3k?1)9k?6k?1 21用，可得2?3?1219k2?2?6k利用不等式求出最值.注意k?0的讨论.
解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意
222a?b?c,得b?1. 由
?c6,??a3??a?3? 解得c?2 2分
3分
x2?y2?1.?所求椭圆方程为3 （2）?m?1,?y?kx?1. 设A(x1,y1),B(x2,y2)，其坐标满足方
?x22??y?1?3?y?kx?1程?
22y(1?3k)x?6kx?0, 消去并整理得
……………4分
….. 6分
则有???6k??AO?OB?02?0，x1?x2??6k,x1x2?021?3k 6k2?k?x1?x2??1?1??02?x1x2?y1y2?x1x2?(kx1?1)?(kx2?1)1?3k ?k??33
……………………………………………………8分
|m|1?k2?32 （3）由已知 将y，可得
m2?32(k?1)4 ……9分
?kx?m代入椭圆方程，
222(1?3k)x?6kmkx?3m?3?0. 整理得
??(6km)2?4(1?3k2)(3m2?3)?0(*)
?6km3m2?3?x1?x2?,x1?x2?.221?3k1?3k 2222………….10分
36k2m212(m2?1)?|AB|?(1?k)(x2?x1)?(1?k)[2?]2(3k?1)3k?1 12(k2?1)(3k2?1?m2)3(k2?1)(9k2?1)??2(3k?1)(3k2?1)212k2?3?4?3?9k?6k2?1 ……11分
当且仅当9k2?1k21212?3??4(k?0)12?3?629k?2?6k …12分
k??33，即k??33时等号成立，经检验，满足（*）式
当k?0时，|AB?3
…………………………………….13
综上可知|AB|max?2. 分
? 当|AB|最大时，?AOB的面积
最大值分
S?133?2??222 ……………………………..14