生活的色彩就是学习
第八章 立体几何 8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图 理
1．多面体的结构特征
2．旋转体的形成
几何体 圆柱 圆锥 圆台 球
3.空间几何体的三视图 (1)三视图的名称
几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图． (2)三视图的画法
①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．
②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图． 4．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．
旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆 旋转轴 任一边所在的直线 任一直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线 K12的学习需要努力专业专心坚持
生活的色彩就是学习 【知识拓展】
1．常见旋转体的三视图
(1)球的三视图都是半径相等的圆．
(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形． (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形． (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形． 2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”
坐标轴的夹角改变，??
“三变”?与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，
??图形改变.平行性不改变，??
“三不变”?与x，z轴平行的线段的长度不改变，
??相对位置不改变.【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × )
(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．( × ) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( × ) (5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．( × ) (6)菱形的直观图仍是菱形．( × )
1．(教材改编)下列说法正确的是( ) A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．正方形的直观图是正方形
D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 答案 D
解析 由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变． 2．(2016·天津)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为( )
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答案 B
解析 由正视图和俯视图可知该几何体的直观图如图所示，故该几何体的侧视图为选项B.
3．(教材改编)如图，直观图所表示的平面图形是( )
A．正三角形 C．钝角三角形 答案 D
解析 由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后原图AC∥y轴，BC∥x轴．直观图还原为平面图形是直角三角形．故选D.
B．锐角三角形 D．直角三角形
4．(2016·长春三模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
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A．20 B．18 C．14＋23 D．14＋22 答案 A
解析 由三视图可得该几何体的直观图如图所示，其为一个正方体截掉4个角后形成的几何11
体，故该几何体的表面积为S＝2×2＋2×2＋4××2×2＋4××2× 22
12
2＋＝20.
2
5．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是________．
答案
14 3
解析 由四棱台的三视图可知，台体上底面面积S1＝1×1＝1，下底面面积S2＝2×2＝4，高
h＝2，代入台体的体积公式V＝(S1＋S1S2＋S2)h＝×(1＋1×4＋4)×2＝.
1313143
题型一 空间几何体的结构特征 例1 给出下列命题：
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③存在每个面都是直角三角形的四面体； ④棱台的侧棱延长后交于一点．
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其中正确命题的序号是________． 答案 ②③④
解析 ①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体
ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知．
思维升华 (1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．
(1)以下命题：
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3 (2)给出下列四个命题：
①有两个侧面是矩形的图形是直棱柱； ②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； ③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；
④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱． 其中不正确的命题为________． 答案 (1)B (2)①②③
解析 (1)命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以，故选B.
(2)对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④由线面垂直的判定，侧棱垂直于底面，故④正确． 综上，命题①②③不正确． K12的学习需要努力专业专心坚持