式中：s(t)为信号码元，n(t)为高斯白噪声。
并设信号码元s(t)的频谱密度函数为S(f)，噪声n(t)的双边功率谱密度为
Pn(f)?n02，n0为噪声单边功率谱密度。
由于假定滤波器是线性的，根据线性电路叠加定理，当滤波器输入电压r(t)中包括信号和噪声两部分时，滤波器的输出电压y(t)中夜包含相应的输出信号s0(t)和输出噪声n0(t)两部分，即：
y(t)?s0(t)?n0(t)
(4-6)
其
(4-7)
中，
s0(?????t)j2? f H (
为了求出输出噪声功率，由式P0(f)?H*(f)?H(f)?Pi(f)?H(f)Pi(f)可知，一个随机过程通过线性系统时，其输出功率谱密度P0(f)等于输入功率谱密度Pi(f)乘以系统传输函数H(f)的模的平方。所以，这时的输出噪声功率N0等于：
N0??(4-8)
???2nnH(f)?0df?0222????H(f)df
2因此，在抽样时刻t0上，输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比为：
s(t) r0?00?N0(4-9)
2????H(f)S(f)en02j2?ft02df????H(f)df2
为了求出r0的最大值，我们利用施瓦兹不等式：
(4-10)
????f1(x)f2(x)dx??2???f1(x)dx?2???f2(x)dx2
若f1(x)?kf2*(x)，其中k为任意常数，则式(4-10)的等号成立。 将式(4-9)右端的分子看作是式(4-10)的左端，并令： f1(x)?H(f),f2(x)?S(f)ej2?ft0 则有： r0?????H(f)df?n022???S(f)df22???????S(f)dfn022???H(f)df2En0
(4-11)
式中：E??而且当
(4-12)
???S(f)df，为信号码元能量。
2H(f)?kS*(f)e?j2?ft0
时，式(4-11)的等号成立，即得到最大输出信噪比
2E。 n0 式(4-12)表明，H(f)就是我们要找的最佳接收滤波器传输特性，它等于信号码元频谱的复共轭。故称此滤波器为匹配滤波器。
4.3 LFM脉冲的匹配滤波
信号s(t)的匹配滤波器的时域脉冲响应为：
h(t)?*s(? t) 0t(4-13)
t0是使滤波器物理可实现所附加的时延。理论分析时，可令t0＝0，则：
h(t)?s*(?t)(4-14)
将4-13式代入4-14式得：
t?j?K2te? h(t)?rec(t)T(4-15)
j2?cfte
图4-2 LFM信号的匹配滤波
如图4-2，s(t)经过系统h(t)得输出信号so(t)，
so(t)?s(t)*h(t)?? ?????????????s(u)h(t?u)du???h(u)s(t?u)du???
?????????(4-16)
???e?j?Ku2uj2?fcuj?K(t?u)2t?uj2?fc(t?u)rect()e?erect()edu?TT当0?t?T时，
T2s0(t)?t?T2?ej?Kte?j2?Ktudue?j2?KtuT2?ej2?fct
?j2?Ktt?T22 ?????????ej?Kt2?????????(4-17)
sin?K(T?t)tj2?fcte?Kt当?T?t?0时，
t?T2s0(t)??T2?ej?Kte?j2?Ktudue?j2?Ktut?T2j2?fct ?eT?j2?Kt?22 ?????????ej?Kt2?????????(4-18)
sin?K(T?t)tj2?fcte?Kt合并（4-17）和（4-18）两式：
tsin?KT(?1T s0(t)?T?KTt(4-19)
t)tftcrec(t)j2?e 2T（4-19）式即为LFM脉冲信号经匹配滤波器得输出,它是一固定载频fc的信号。当t?T时，包络近似为辛克（sinc）函数。
(KTtrect) S0(t)?TSa?(4-20)
tt(?)TSa?Bt(rect)( ) 2T2T
图4-3 匹配滤波的输出信号
如图4-3，当?Bt???时，t??t??1?为其第一零点坐标；当?Bt??时，B21，习惯上，将此时的脉冲宽度定义为压缩脉冲宽度。 2B11?2? ??2BB(4-21)
LFM信号的压缩前脉冲宽度T和压缩后的脉冲宽度?之比通常称为压缩
比D，
D?(4-22)
T??TB
上式表明，压缩比也就是LFM信号的时宽频宽积。
因为s(t),h(t),so(t)均为复信号形式，MATLAB仿真时，只需考虑它们的复包络S(t),H(t),So(t)。MATLAB程序2（附录2）仿真了图4-2所示的过程，并将仿真结果和理论进行对照。仿真结果见图4-4，4-5。
4.4 MATLAB仿真结果
仿真一：线性调频脉冲压缩信号 （1） 系统模型：
图4-4 线性调频脉冲压缩信号系统框图
（2） 仿真结果：
图4-5 LFM信号的时域波形和幅频特性
（3） 结果分析：如图4-5所示，图中为典型的线性调频信号的时域和频域特性，
经调制，信号带宽为30MHz ，信号周期为10us。 仿真二：匹配滤波接收回波信号 （1）系统模型：