数学答案及评分标准 2012. 6
一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 C 北京市西城区2012年初三二模试卷
二、填空题（本题共16分，每小题4分） 题号 答案 9 10 2 11 4 12 (x?3)2?1 (3,1) (2n?1,n) 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式=5?1?6?2?22…………………………………………………………4分 2 =4?2．…………………………………………………………………… 5分
14．解：原式=x(x2?4x?4)?x2(x?6)?3
=x3?4x2?4x?x3?6x2?3
=2x2?4x?3．………………………..….….….….….…………………… 3分
∵ x2?2x?4?0，
2 ∴ x?2x?4. ………………………………………………………………… 4分
2 ∴ 原式=2(x?2x)?3?5. ….……………………………………………………5分
15.(1)证明：如图1.
∵ ∠BAF=∠CAE，
∴ ?BAF??CAF??CAE??CAF.
∴ ?BAC??DAE. ………………… 1分 在△ABC和△ADE中,
EGFDC??B??D,? ?AB?AD,
??BAC??DAE,?AB图1
∴ △ABC≌△ADE. ……………………………………………………… 3分 ∴ BC=DE. ………………………………………………………………… 4分 (2)∠DGB的度数为67?．……………………………………………………………… 5分 16．解：(1)∵关于x的一元二次方程(m +1)x2 + 2mx + m ? 3 = 0 有两个不相等的实数根，
∴ m?1?0且??0．
∵ ??(2m)2?4(m?1)(m?3)?4(2m?3)，
∴ 2m?3?0． ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍1分 解得 m>?3． ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分 23且m ? ?1． ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 3分 2 ∴ m的取值范围是 m>?(2)在m>?3且m ? ?1的范围内，最小奇数m为1． ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分 2此时，方程化为x2?x?1?0． ∵ ??b2?4ac?12?4?1?(?1)?5， ∴ x??1?5?1?5?． 2?12∴ 方程的根为 x1??1?5?1?5， x2? ．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分 22DFC17. (1)证明：如图2.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD且AB=CD. ﹍﹍﹍﹍1分 ∵ 点E，F分别是AB，CD的中点，
11 ∴ AE?AB,DF?CD.
22AGEB图2
∴ AE=DF. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2分 ∴ 四边形AEFD是平行四边形. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分
(2)解：过点D作DG⊥AB于点G. ∵ AB=2AD=4，
∴ AD=2. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分
在Rt△AGD中，∵?AGD?90?,?A?60?, AD=2， ∴ AG?AD?cos60??1,DG?AD?sin60??3. ∴ BG?AB?AG?3.
在Rt△DGB中，∵?DGB?90?,DG?3,BG?3,
∴DB?DG2?BG2?3?9?23. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分 18．解：(1)300； ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分
(2)
2；﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分 5
(3)1750 . ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）
[来源学科网Z.X.X.K]19．解：(1)当MN⊥AC时，从N到M小区铺设的管道最短.（如图3）﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 1分
(2) ∵ ?MAC=60??30?=30?，?ACM=30?+30?=60?，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分 ∴ ?AMC=180??30??60?=90?. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 3分
在Rt△AMC中，∵?AMC=90?，?MAC=30?，AC=2000，
3?10003(米). ﹍﹍﹍2﹍﹍﹍﹍﹍4分 AN 在Rt△AMN中，∵ ?ANM=90?，cos30?=，
AM ∴ AM?AC?cos?MAC?2000? ∴ AN=AM?cos30?=10003?
3=1500(米). 2西北M北60°60°30°NC南东A南东………………………………………… 5分
图3 答：∠AMC等于90?，AN的长为1500米. 20. 解：(1)根据题意得A(6,0)，B(0,8).(如图4)
在Rt△OAB中，?AOB=90?，OA=6，OB=8， ∴ AB?62?82?10.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 1分
∵ △DAB沿直线AD折叠后的对应三角形为△DAC， ∴ AC=AB=10.
∴ OC?OA?AC?OA?AB?16. ∵ 点C在x轴的正半轴上，
∴ 点C的坐标为C(16,0).﹍﹍﹍﹍﹍ 2分 (2)设点D的坐标为D(0,y).（y<0） 由题意可知CD=BD，CD2?BD2. 由勾股定理得162?y2?(8?y)2. 解得y??12.
[来源学*科*网]yBOD图4 ACx
∴ 点D的坐标为D(0,?12).﹍﹍﹍﹍﹍3分 可设直线CD的解析式为 y?kx?12.（k ? 0）
∵ 点C(16,0)在直线y?kx?12上，
∴ 16k?12?0. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分 解得k?3. 43x?12.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分 4DEBOCP∴ 直线CD的解析式为y?21.(1)证明：连结AO，AC.(如图5) ∵ BC是⊙O的直径，
∴ ?BAC??CAD?90?.﹍﹍﹍﹍﹍1分 ∵ E是CD的中点， ∴ CE?DE?AE. ∴ ?ECA??EAC. ∵ OA=OC， ∴ ?OAC??OCA.
图5 A ∵ CD是⊙O的切线，
∴ CD⊥OC. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分
∴ ?ECA??OCA?90?.
∴ ?EAC??OAC?90?. ∴ OA⊥AP.
∵ A是⊙O上一点，
∴ AP是⊙O的切线. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分 (2) 解：由(1)知OA⊥AP.
在Rt△OAP中，∵?OAP?90?，OC=CP=OA，即OP=2OA，
∴ sinP?OA1? OP2.
∴ ?P?30?. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分 ∴ ?AOP?60?. ∵ OC=OA， ∴ ?ACO?60?. 在Rt△BAC中，∵?BAC?90?，AB=33，?ACO?60?， ∴ AC?AB33??3.
tan?ACOtan60?又∵ 在Rt△ACD中，?CAD?90?，?ACD?90???ACO?30?， ∴ CD?AC3??23. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分
cos?ACDcos30?BC的平行线l画在直线BC下方对称位置所画出的三角形亦可)
22.解：(1) 如图所示，答案不唯一. 画出△D1BC，△D2BC，△D3BC，△D4BC，△D5BC中的一个即可.（将 D 1 D 3 D 5 D 2 A D 4 lD1AD2BCBC﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2分
(2) 如图所示，答案不唯一. （在直线D1D2上取其他符合要求的点，或将BC的平行线画在直线BC下方对称位置所画出的三角形亦可)
﹍﹍﹍4分
(3) 如图所示(答案不唯一).
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 5分
MBDCAEN如上图所示的四边形ABDE的画法说明：(1)在线段BC上任取一点D（D不为BC的中点），连结AD；(2)画出线段AD的垂直平分线MN；(3)画出点C关于直线MN的对称点E，连结DE，AE. 则四边形ABDE即为所求.
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：(1)由题意得A，C两点的坐标分别为A(1,k1)，C(1,k2)．（如图6）
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍1分
∵ k1?0，k2?0，
∴ 点A在第一象限，点C在第四象限，AC?k1?k2． 当m=4时，S?ACD? y
C（1,k2）C（1,k2）13AC?BD?(k1?k2)．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分 22yyk1xA（1,k1）EA（1,k1）y=OBDy=A（1,k1）y=k1xEy=Dy=k1xk2xxk2xOBGDy=k2xxOFBxC（1,k2）图6 图7 图8 (2) 作EG⊥x轴于点G．（如图7）
∵ EG∥AB，AD的中点为E， ∴ △DEG∽△DAB，
EGDGDE1???，G为BD的中点． ABDBDA2∵ A，B，D三点的坐标分别为A(1,k1)，B(1,0)，D(m,0)，
ABk1BDm?1m?1，OG?OB?BG?． ?，BG??22222m?1k1∴ 点E的坐标为E(,)．
22k∵ 点E恰好在双曲线y?1上，
xm?1k1∴ ??k1．①﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分
22∴ EG?∵ k1?0，
m?1?1，解得m?3．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分 43k(3)当点D的坐标为D(2,0)时，由(2)可知点E的坐标为E(,1)．（如图8）
22∴ 方程①可化为
∵ S?BDF?1， ∴ S?BDF?11BD?OF?OF?1． 22∴ OF?2． ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 5分
设直线BE的解析式为y?ax?b（a≠0）． ∵ 点B，点E的坐标分别为B(1,0)，E(,3k1)， 22?a?b?0,?∴ ?3ak1
?b?.?2?2解得 a?k1，b??k1．
∴ 直线BE的解析式为y?k1x?k1．
∵ 线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，k1?0，∴ 点F的坐标为F(0,?k1)，OF?k1．
∴ k1?2．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 6分 线段CF的长为5．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 7分
24．解:(1) 当t =5秒时，点P走过的路径长为 19 ；当t = 3 秒时，点P与点E重合．
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分
(2) 如图9，由点P的对应点M落在EF上，点F的对应点
为点N，可知∠PEF=∠MEN，都等于△PEF绕点E旋转的旋转角，记为α．
AFNPααα[来源学科网ZXXK]
CElMαB图9