19．（本小题满分13分）
已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1,F2，且|F1F2|=2点(1,)在该椭圆上。
（I） （II）
求椭圆C的方程；
过FB两点，若?AF2B的面积为1的直线l与椭圆C相交于A，为圆心且与直线l相切的圆的方程。
20．（本小题满分13分）
32122，求以F27?2an?1, n为偶数??2n?2,3,4,... 已知数列{an}满足：a1?0，an??n?1?2an?1，为奇数 n?2??2（I） （II） （III）
求a5,a6,a7得值； 设bn?a2n?1，试求数列{bn}的通项公式； n2对任意的正整数n，试讨论an与an?1的大小关系。
海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学（理）
参考答案及评分标准 2010．4
说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 C 5 A 6 C 7 A 8 B 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）
129．30 10．7 11．①，④ 12．1 13．(,) 14．?；18??.
35三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由图可知T?4(?2??4)??,??2??2， T ………………2分
又由f()?1得，sin(???)?1，又f(0)??1，得sin???1
?2
?|?|???????2， ………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)?sin(2x?因为g(x)?(?cos2x)[?cos(2x? 所以，2k???2)??cos2x ………………6分
1sin4x ………………9分 2?2)]?cos2xsin2x??2?4x?2k???2，即
k??k????x?? (k?Z).……………12分 2828
……………13分
故函数g(x)的单调增区间为[k??k???,?] (k?Z). 282816．（本小题满分13分）
解：设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C.
则P(A)?111,P(B)?,P(C)?. 632111?? 632
………………3分
（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域.
?P?P(A)?P(B)? ………………6分
即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次.
随机变量X的可能值为0，30，60，90，120.
1. 2
………………7分
111P(X?0)???;224111P(X?30?)???2233111 P(X?60?)???2?263111P(X?90?)???2369111P(X?120?)??6636;1?3;.………………10分
5 ; 18 所以，随机变量X的分布列为：
P X 0 30 60 90 120 1 41 35 181 91 36 ………………12分
其数学期望EX?0?11511?30??60??90??120??40 .………13分 4318936
17． （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）证明：因为A1A?AC，且O为AC的中点， 1?AC. 所以AO1 ………………1分
?平面AA1C1C， 又由题意可知，平面AA1C1C?平面ABC，交线为AC，且AO1?平面ABC. 所以AO1 ………………4分
（Ⅱ）如图，以O为原点，OB,OC,OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系. ?AC?2,又AB?BC,AB?BC,?OB?由题意可知，A1A?AC11AC?1, 2所以得:O(0,0,0),A(0,?1,0),A1(0,0,3),C(0,1,0),C1(0,2,3),B(1,0,0) 则有：AC?(0,1,?3),AA1?(0,1,3),AB?(1,1,0). 1
………………6分
设平面AA1B的一个法向量为n?(x,y,z)，则有
A1zB1C1??n?AA1?0??y?3z?0 ?，令y?1，得?????x?y?0?n?AB?0x??1,z??3 33). 3AOCyBx 所以n?(?1,1,? cos?n,A1C?? ………………7分 ?21. 7n?A1C|n||A1C| ………………9分
21. 7 因为直线A1C与平面A1AB所成角?和向量n与A1C所成锐角互余，所以sin??
………………10分
………………11分
（Ⅲ）设E?(x0,y0,z0),BE??BC1,
?x0?1???即(x0?1,y0,z0)??(?1,2,3)，得?y0?2?
??z0?3?所以E?(1??,2?,3?),得OE?(1??,2?,3?), 令OE//平面A1AB，得OE?n=0 ，
………………12分 ………………13分
1 即?1???2????0,得??,
2即存在这样的点E，E为BC1的中点.
18.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当a??1时，f(x)?x?lnx,
………………14分
1 得f?(x)?1?,
x 令f?(x)?0，即1? ………………2分
1?0，解得x?1，所以函数f(x)在(1,??)上为增函数， x
………………4分
据此，函数f(x)在[e,e2]上为增函数，
而f(e)?e?1，f(e2)?e2?2，所以函数f(x)在[e,e2]上的值域为[e?1,e2?2]
………………6分
aa（Ⅱ）由f?(x)?1?,令f?(x)?0，得1??0,即x??a,
xx 当x?(0,?a)时，f?(x)?0，函数f(x)在(0,?a)上单调递减；
当x?(?a,??)时，f?(x)?0，函数f(x)在(?a,??)上单调递增； ……………7分 若1??a?e，即?e?a??1，易得函数f(x)在[e,e2]上为增函数，
此时，f(x)max?f(e2)，要使f(x)?e?1对x?[e,e2]恒成立，只需f(e2)?e?1即可，
?e2?e?1所以有e?2a?e?1，即a?
22?e2?e?1?(e2?3e?1)?e2?e?1而?(?e)??0，即??e，所以此时无解.
222………………8分
若e??a?e2，即?e?a??e2，易知函数f(x)在[e,?a]上为减函数，在[?a,e2]上为增函数， a??1?f(e)?e?1??要使f(x)?e?1对x?[e,e2]恒成立，只需?，即??e2?e?1， 2?f(e)?e?1?a??2?e2?e?1?e2?e?1?e2?e?1e2?e?12由?(?1)??0和?(?e)??0
2222?e2?e?1得?e?a?.
22 ………………10分
若?a?e2，即a??e2，易得函数f(x)在[e,e2]上为减函数，
此时，f(x)max?f(e)，要使f(x)?e?1对x?[e,e2]恒成立，只需f(e)?e?1即可， 所以有e?a?e?1，即a??1，又因为a??e2，所以a??e2.
……………12分 ……………13分
?e2?e?1 综合上述，实数a的取值范围是(??,].
219．（本小题满分13分）
x2y2解：（Ⅰ）设椭圆的方程为2?2?1,(a?b?0)，由题意可得：
ab椭圆C两焦点坐标分别为F1(?1,0)，F2(1,0).
.……………1分
3353?2a?(1?1)2?()2?(1?1)2?()2???4.
2222?a?2,又c?1 b2?4?1?3，
.……………3分
……………4分
x2y2??1. 故椭圆的方程为43 .……………5分