第三章 用有限元素法建立结构振动的数学模型
3．1 引言
【工程要求】：
对于简单的连续结构，如单件的杆、板、梁，可以建立结构振动的偏微分方程，但对于杆、板、梁组成的复杂结构，仍然采用建立偏微分方程的方法则十分困难。如果用假设模态法（李兹方法），对实际工程结构假设出品质良好的整个结构的假设模态也十分困难。要对结构振动进行数值分析，必须建立振动的数学模型——振动方程。
工程结构振动分析中，要采用将结构离散为有限自由度系统的方法——有限元素法，来建立结构的数学模型。
【发展简况】
有限元素法，是在上一世纪五十年代中期，经过M.T.Turner及J.H.Argyris等人的开拓性工作以及后来许多研究者的大量工作，发展起来的一种结构分析的有效方法，上一世纪六十年代初，由J.S.Archer及J.H.Argyris等人引入到结构动力学分析中来。
有限元素法发展到今天，已经非常成熟，而且与先进的计算机技术结合，已经形成了一个以有限元分析方法为基础的计算机辅助工程（CAE）的技术领域以及更进一步的虚拟产品设计（VPD）这样的先进概念。世界上著名的CAE分析软件商主要有MSC.software和Ansys等公司的产品。
【有限元动力学分析的任务】
在结构振动分析领域，有限元素法处理的问题主要是两类：结构固有振动特性计算和结构振动响应计算（包括频率响应分析与响应时间历程分析）。两类问题中，用有限元法建立振动数学模型是最基础的工作。
【有限元素法（分析结构振动问题）的特点】：
原则上，有限元素法由于其对复杂边界的适应性，它可以处理任何复杂的结构。
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求解结果的精度可以根据需要不断改善，建模过程规范统一，计算形式适合于计算机求解。 【存在的问题】：
随着精度要求的不断提高，所要求的计算机容量和计算时间急剧增加，从而引出了大型特征值问题的快速求解方法、将大型结构振动问题转化为若干小型结构振动问题集合的子结构求解方法，以及结构振动问题的并行求解方法等问题的研究。
【工程结构振动分析方法】
从结构振动分析的发展历史看，经典的方法有：
1．集中质量法——将质量分别集中在若干节点处，形成集聚质量阵。结构的刚度仍然连续分布，采用材料力学中求柔度的方法，求出柔度系数，得到柔度矩阵，即用柔度法来形成刚度矩阵。
集中质量法存在问题：
对大型复杂结构，用材料力学的方法，进行柔度矩阵的求解显然是不现实的。
2．假设模态法——以李兹法为基础，选择一组假设模态组成的模态矩阵，对结构进行离散，如第二章所述的方法。
假设模态法存在的问题：
1．对几何形状复杂的结构，假设模态难以选择。
2．对整个系统用假设模态法得到的运动方程是高度耦合的，求解困难。 3．对不同的结构，要根据实际情况选取不同的假设模态，求解过程不规范统一。
引入有限元素法的思想既解决了上述方法的缺点，又保留了它们的优点。
【有限元法分析振动问题的基本原理】
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用有限元法分析结构动态问题的基本思想，与结构静态分析的思想是一样的。它采用的方法仍然是：将结构分解为有限数目的单元，各元素间由节点相连，各单元内结构的变形用位移形函数（相当于元素级的假设模态）来表示，以节点位移作为控制变量（元素的广义坐标）。元素间的位移连续条件通过引入的形函数来满足，动态平衡条件通过最后导出的有限元方程来体现。由于节点数目是有限的，最后得到的方程是一个多自由度、离散的、线性的矩阵微分方程。
3．2 运动方程的建立
仍然采用熟悉的拉格朗日方程法建立其数学模型（运动方程）。 对任一单元内部任一点的位移{d}与节点位移{?}的关系：
{d}?[uvw]T?[N]{?}
e （3－1）
[N]称为假设的已知位移形函数（可以看成是单元的假设模态，一般仍采用静态变形函数） 显然：
?}?[N]{??e} {d （3－2）
单元的动能：
Te??1212?V?}{d?}dV??A{dT12eT{??}?V?A[N][N]dV{??}Te （3－3）
eTee{??}[m]{??}[m]?e?V?A[N][N]dV称为单元质量矩阵，质量阵是对称矩阵。
T
整个结构的动能为：
T??Te?e?e11eTee?}T[M]{q?} （3－4） {??}[m]{??}?{q22{q}是全结构的节点位移列阵，[M]??[mee]为全结构质量阵，?e代表对整个
结构各单元的组集（Assemble）。
单元的应变向量:
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{?}?[B]{?}，{?}?[E]{?}
e （3－5）
[B]——几何矩阵，[E]——弹性矩阵，{?}——应力向量
单元的势能为：
Ue??121?2eVT{?}[E]{?}dV?eeT12{?}(?[B][E][B]dV){?}VeTTe（3－6）
{?}[k]{?}
全结构的势能：
U??Ue?e?2e1{?}[k]{?}?eTee12T{q}[K]{q} （3－7）
[K]??[kee] （3－8）
作用在单元上的分布力{f}的虚功：
?We??V{d}{f}dV?{?}TeT?V{N}{f}dV （3－9）
T单元节点力（广义力）
{pe}??V{N}{f}dV
T （3－10）
全结构的外力虚功：
?W???Weee?{q}{P}
T （3－11）
{P}??{pe} （3－12）
【阻尼的处理】
采用粘性阻尼假定：阻尼力与运动速度成正比，方向与速度相反。
单元中分布阻尼r的耗散函数（瑞利耗散函数）：
Re??1212?V?}{u?}dV?r{uT12eT{??}?VTer[N][N]dV{??} （3－13）
eTee{??}[c]{??}耗散力（即瑞利耗散力）与耗散函数的关系为：
{QD}??Ree?[c]{??e} （3－14） e?{??}i全结构的耗散函数：
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R??eRe??e11eTee?}T[C]{q?} （3－15） {??}[c]{??}?{q22[C]??[cee] （3－16）
将全结构的动能、势能、耗散函数和广义力代入非保守系统的拉格朗日方程，
d?idt?q(?T)??T?qi??U?qi??D?i?q?Qi(i?1,2,?N)
（3－17）
得到：
??}?[C]{q?}?[K]{q}?{P} [M]{q （3－18）
【几个相关问题】：
1．进行实际结构的振动分析时，在各个单元的矩阵组集之前，还要对单元矩阵进行由单元的局部坐标系向结构的总体坐标系转换。
记局部坐标系下节点位移向量{?e}向总体坐标系下节点位移向量{?}的转换阵为[?e]，则坐标转换关系为：
{?}?[?][L]{?}
eee （3－19）
其中[Le]为对单元矩阵组集时“对号入座”的定位矩阵。
[m]?[L][?][m][?][L]
eTeTeee
（3－20） （3－21） （3－22）
[k]?[L][?][k][?][L]
eTeTeee[c]?[L][?][c][?][L]
eTeTeee[p]?[L][?][p]
eTeTe （3－23）
经过上述变换后的单元矩阵可以直接叠加得到结构总体矩阵。
2．为了求解结构的固有振动特性，需要求解无阻尼情况下结构的自由振动方程：
??}?[K]{q}?{0} [M]{q (3－24)
将固有振动的简谐运动形式
{q}?{?}sin?t
（3－25）
代入得到的结构的特征方程：
(??[M]?[K]){?}?{0}或 [K]{?}??[M]{?}
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2 （3－26）