数学上构成所谓的广义特征值问题。
3．振动分析中采用的质量阵问题
在结构振动分析中，常采用的质量阵形成方法有：集中质量模型和一致质量模型。
在采用集中质量模型时，一般是按照杠杆原理将单元质量向单元各个节点上进行分配，在局部转动效应显著时，还要考虑单元的转动惯量。集中质量模型得到的质量阵为对角矩阵。
将单元内惯性分布视为与静力形函数同样规律的分布，导出的质量矩阵称为一致质量阵。即上面（３－２０）推导出的质量阵。这样的质量阵为满阵。
注意：集中质量阵与一致质量阵都不是振动结构在实际上精确的质量分布模型。理论上，结构的动位移是与频率相关的。动位移在不同振动频率和振型下是不同的，即不同的频率对应有不同的惯性。所以严格地讲，质量阵也是与频率相关的。下面以轴向振动的杆元为例，说明这个问题。
作为连续体的二力杆元的振动偏微分方程（波动方程）为：
x
E?d2??x2??d?t22?0 （3－27）
1 d1
2 L d2
记c?E/?称为波速，E，?分别为杆的弹性模量和密度。 方程（3－27）的解为：
d?[(cos?xc?cos?Lcsin?xc)csc?Lcsin?x?d1?]??ec?d2?i?t （3－28）
故此时形函数为:
[N]?[(cos?xc?cos?Lcsin?xc)csc?Lcsin?xc] （3－29）
?L代入单元质量阵公式得：
?L?L??Lcsc?cos?ALc?L?ccc[m]?csc??L?L2?Lc?1?cotcc???cc（3－30）
?L?L?L??csc?cosccc?1?cot?L显然，这个质量阵为满阵，且各元素为与频率相关的量。理论上这样的质量
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阵真实反映实际的惯性分布，计算得到的固有特性更精确，但却使计算大大复杂化，而且只有对简单的情况（如二力杆元）下，才能从偏微分振动方程得出（动力）形函数，因此，工程实际中很少采用这种方法。而是采用与推导刚度阵时一致的（静力）形函数。
至于采用集中质量阵还是一致质量阵，得到的结果更好，没有固定的规律和结论，要视具体情况而定。从一般经验上讲，在单元划分较细时，用集中质量阵较好，反之宜采用一致质量阵。根据特征值隔离定理知道，采用一致质量阵分析得到的是固有频率精确解的上界，随着分元的细化，计算结果单调地向精确解逼近，而集中质量阵给出的结果就不具备这种特性，可能偏低也可能偏高。从工程分析经验看，由于建立有限元模型的离散过程，已经使结构比实际结构的刚度增大，因此采用集中质量阵可能有时反而会得到误差较小的结果，但这需要经验和技巧。但采用集中质量阵得到的振型一般误差较大，对振型要求较高时，还是宜采用一致质量阵。
集中质量阵是对角阵，在计算时可以节省计算时间。我们希望能获得一种优于集中质量阵的对角化质量阵。例如，对于梁的弯曲振动，可以按下式来计算对角化的非一致质量阵的单元：
m(i)rr?(??AN(y)dy)(??Ady)004li2rlili(r?1,2,3,4) （3－31）
??r?10?ANr(y)dy2而非对角元全部置零，Nr(y)(r?1,2,3,4)是梁的四个形函数。由于这种质量矩阵在一定程度上反映了单元形函数的特性，因此可以给出精度较好的计算结果。
3．3 典型结构单元的有限元建模
结构有限元模型的自由度数＝节点数×节点位移数
一、
纵向振动杆元
杆元i?j的任意截面处位移由两节点位移插值得到。
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u(x,t)?Ni(x)ui(t)?Nj(x)uj(t)?[NiNiNNj]{uiuj}?[N]{q(t)}e （3－32）
j应满足边界条件：
Ni(0)?1,Nj(0)?0Ni(l)?0,Nj(l)?1 （3－33）
杆元受节点力时的静态方程为：
??x(AE?u?x)?0
（3－34）
xl其解为：
u(x)?c1?c2 （3－35）
xl代入边界条件得到形函数：
Ni(x)?1?xl,Nj(x)? （3－36）
从而杆元的质量阵和刚度阵为：
[m]???l0?A[N][N]dx?T?Al?2?6?11??2? （3－37）
?1??1?[k]?l0EA[N?][N?]dx?TAE?1?l??1 （3－38）
二、
弯曲振动梁元
梁元i?j的任意截面处位移由两节点位移插值得到。
y(x,t)?Nix(x)yi(t)?Ni?(x)?i(t)?Njx(x)yj(t)?Nj?(x)?j(t)?[NixNi?NjxNj??yi?????i?e]???[N]{q(t)}y?j???j???（3－39）
yi?iyj?j为梁元的节点位移。
均匀梁元受常值节点力作用时的挠曲线偏微分方程为：
?22?x(EI?y?x22)?0??y?x44?0 （3－40）
从而
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y?c1?c2y(x)应满足边界条件：
xx2x3?c3()?c4() lll （3－41）
y(0)?yi,y?(0)??iy(l)?yj,y?(l)??j （3－42）
代入边界条件得到：
c1?yic2?l?ic3??3yi?3yj?2l?i?l?c4?2yi?2yj?l?i?l?jj （3－43）
代入位移表达式，整理后，得到形函数为：
?iy?1?3()?2()llxl2x2x3?i??x?2l()?l()lx3?jy?3()?2()llxl2x2x （3－44）
3?j???l()?l()lx3形函数阵：
[N]?[?iy?i??jy?j?] （3－45）
梁元的质量阵和刚度阵为：
?156??Al?22lT?A[N][N]dx?420?54???13l?12?6lEIT???EI[N][N]dx?3l??12??6l22l4l25413l1562[m]??l013l?3l6l4l2?22l?12?6l12?6l?13l?2??3l? （3－46） ?22l?2?4l?6l?2?2l? （4－47） ?6l?2?4l?[k]??l0?6l2l2上面给出的是平面梁元的特性矩阵，对于空间梁元特性矩阵形成过程完全相同。可以参考任何一本有限元素法方面的专著或教材。这里不再赘述。
【单元的坐标变换阵】：
单元局部坐标与总体坐标不一致时，需要进行坐标变换，记局部坐标X?Y
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?ui???与总体坐标X?Y之间夹角为?，则局部坐标下节点位移列阵?vi?与总体坐标
????i??ui???下位移列阵?vi?间的变换关系为：
????i??ui??cos?????vi????sin?????0?i??sin?cos?00??ui??ui??????0?vi??[?]?vi? (3－48) ??????1????i??i?则坐标变换阵为：
?[?][?]???[0][0]?? [?]? (3－49)
三．面内振动的平板元
以三节点三角元为例，取三角元三个顶点的位移为单元广义坐标，
{q}?[uiviujvjumvm] （3－50）
eT单元内任一点的位移为：
?u(x,y,t)??Ni{e}??????v(x,y,t)??00NiNj00NjNm00?ee?q?[N(x,y)]{q(t)}（3－51） Nm???三个形函数Ni,Nj,Nm应满足边界条件：
?0Ni(xj,yj)???1i?j,i?j,i?i,j,mj?i,j,m （3－52）
设满足此条件的形函数为：
Ni(x,y)?ai1?ai2x?ai3yi?i,j,m （3－53）
代入边界条件可得到：
Ni(x,y)?12?(ai?bix?ciy)i?i,j,m （3－54）
??12111xixjxmyiyjymai?xjym?xmyibi?yj?ymci?xm?xj（3－55）
?为三角形单元的面积。aj,bj,cj,am,bm,cm由上式按下图轮换下标求得：
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