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第2讲 基本初等函数、函数与方程
高考定位 1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单的实际问题.
真 题 感 悟
1.(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x－2x＋a(e1A.－
2
2
2
x－1
＋e
－x＋1
)有唯一零点，则a＝( )
D.1
1B. 3
x－1
1C. 2
＋e
1－x解析 f(x)＝(x－1)＋a(e
2
)－1，令t＝x－1，
则g(t)＝f(t＋1)＝t＋a(e＋e)－1. ∵g(－t)＝(－t)＋a(e＋e)－1＝g(t)， ∴函数g(t)为偶函数.
∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点. 又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0， 1
∴2a－1＝0，解得a＝.
2答案 C
1
2.(2018·天津卷)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log1，则a，b，c的大小关系是( )
23A.a>b>c C.c>b>a
B.b>a>c D.c>a>b
2
－tt－tt1
解析 c＝log1＝log23，a＝log2e，由y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，知c>a>1.又b＝
23ln 2<1，故c>a>b. 答案 D
??e，x≤0，
3.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝?g(x)＝f(x)＋x＋a.若
?ln x，x>0，?
xg(x)存在2个零
点，则a的取值范围是( ) A.[－1，0) C.[－1，＋∞)
B.[0，＋∞) D.[1，＋∞)
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解析 函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程
f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1. 答案 C
4.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________.
解析 一年的总运费与总存储费用之和为y＝6×
600
x＋4x＝
3 600
x＋4x≥2
3 600
×4x＝
x3 600
240，当且仅当＝4x，即x＝30时，y有最小值240.
x答案 30
考 点 整 合
1.指数式与对数式的七个运算公式 (1)a·a＝amnmnm＋n；
(2)(a)＝a；
(3)loga(MN)＝logaM＋logaN； (4)loga＝logaM－logaN； (5)logaM＝nlogaM； (6)alogNmnMNna＝N；
logbN(7)logaN＝(注：a，b>0且a，b≠1，M>0，N>0).
logba2.指数函数与对数函数的图象和性质
指数函数y＝a(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0
3.函数的零点问题
(1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数
xy＝g(x)的图象交点的横坐标.
(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利
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用两个函数图象的交点求解.
4.应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题建模求解反馈
.
文字语言数学语言数学应用检验作答
热点一 基本初等函数的图象与性质
【例1】 (1)(2018·郑州一模)若函数y＝a(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( )
|x|
(2)(2018·济南质检)已知a(a＋1)≠0，若函数f(x)＝log2(ax－1)在(－3，－2)上为减函1
4，x≤，??2
数，且函数g(x)＝?在R上有最大值，则a的取值范围为( )
1
??logx，x>2
x|a|
?
??C.?－?
A.?－
21?，－? 22?21?，－? 22?
|x|
1??B.?－1，－?
2??D.?－?
?2??1?，0?∪?0，2?
?2??
解析 (1)由于y＝a的值域为{y|y≥1}， ∴a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数， 又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称. 因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.
(2)∵f(x)＝log2(ax－1)在(－3，－2)上为减函数，
??a<0，1
∴?∴a≤－，∵a(a＋1)≠0，
2?－2a－1≥0，?
1
4，x≤，??21?1?，1∴|a|∈?在R上?∪(1，＋∞).当x≤2时，g(x)＝4∈(0，2]，又g(x)＝??2?1??logx，x>2
xx|a|
1112?1?2
有最大值，则当x>时，log|a|x≤2，且|a|∈?，1?，∴log|a|≤2，∴|a|≤，则|a|≤，
2222?2?121
又a≤－，∴－≤a≤－. 222答案 (1)B (2) A
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探究提高 1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围.
2.研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)＝ln(x－3x＋2)的单调区间，只考虑t＝x－3x＋2与函数y＝ln t的单调性，忽视t>0的限制条件. 【训练1】 (1)函数y＝ln |x|－x的图象大致为( )
2
2
2
35??x＋，x<1，f(t)(2)(2018·西安调研)设函数f(x)＝?44则满足f[f(t)]＝2的t的取值范围是
??2x，x≥1，________.
12
解析 (1)易知y＝ln|x|－x是偶函数，排除B，D.当x>0时，y＝ln x－x2，则y′＝－2x，
x12?2
?时，y′＝x－2x>0，y＝ln x－x单调递增，排除C.A项满足. 2?
t<1，????t≥1，
(2)若f(t)≥1，显然成立，则有?35或?t
?2≥1，t＋≥1???44当x∈?0，1
解得t≥－. 3
若f(t)<1，由f[f(t)]＝2
f(t)
??
，可知f(t)＝－1，
35
所以t＋＝－1，得t＝－3.
44
??1???. t＝－3或t≥－综上，实数t的取值范围是t?3?????1?
答案 (1)A (2)?t?t＝－3或t≥－?
3
?
?
?
热点二 函数的零点与方程
考法1 确定函数零点个数或其存在范围
1
【例2－1】 (1)函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为( )
x?1?A.?0，? ?2??1?B.?，1? ?2?
C.(1，2) D.(2，3)
π??(2)(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝cos?3x＋?在[0，π]的零点个数为________. 6??解析 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数.
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f ??＝log2－＝－1－2＝－3＜0， 2
111213
?1???
11212
f(1)＝log21－＝0－1＜0， f(2)＝log22－＝1－＝＞0，
f(3)＝log23－＞1－＝＞0，即f(1)·f(2)＜0，
1
∴函数f(x)＝log2x－的零点在区间(1，2)内.
12331122
xπ?πππkπ?(2)由题意知，cos?3x＋?＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，6?6293?π4π7π
当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，均满足题意，所以函数f(x)
999在[0，π]的零点个数为3. 答案 (1)C (2)3
探究提高 1.函数零点 (即方程的根)的确定问题，常见的类型有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定. 2.判断函数零点个数的主要方法：
(1)解方程f(x)＝0，直接求零点；(2)利用零点存在定理；
(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.
?π?2
【训练2】 函数f(x)＝2sin xsin?x＋?－x的零点个数为________.
2??
解析 f(x)＝2sin xcos x－x＝sin 2x－x，函数f(x)的零点个数可转化为函数y1＝sin 2x与y2＝x图象的交点个数，在同一坐标系中画出y1＝sin 2x与y2＝x的图象如图所示：
2
2
2
2
由图可知两函数图象有2个交点，则f(x)的零点个数为2. 答案 2
考法2 根据函数的零点求参数的取值或范围
??x＋2ax＋a，x≤0，
【例2－2】 (2018·天津卷)已知a>0，函数f(x)＝?若关于2
?－x＋2ax－2a，x>0.?
2
x的方程
f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________.
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