K12教育资料（小初高学习）
当x>1时，由f(x)＝3f(2)＝3得x＋1＝27，即x＝26. 当x≤1时，由f(x)＝3得5－x＝8，即x＝－3. 故方程f(x)＝3f(2)的解集为{－3，26}.
(2)当x>1时，f(x)＝log3(x＋1)递增，且f(x)∈(log32，＋∞). 当x≤1时，f(x)＝log2(5－x)递减，且f(x)∈[2，＋∞). 由g(x)＝f(x)－a＝0得f(x)＝a，
故当a∈(－∞，log32]时，g(x)的零点个数为0； 当a∈(log32，2)时，g(x)的零点个数为1； 当a∈[2，＋∞)时，g(x)的零点个数为2.
10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3(其中a，b是实数).据
10统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a，b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故30
有a＋blog3＝0，
10即a＋b＝0；
当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s， 90
故有a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1.
10
???a＋b＝0，?a＝－1，
解方程组?得?
??a＋2b＝1，b＝1.??
Q(2)由(1)知，v＝－1＋log3
.
10
Q所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2， 即－1＋log3≥2，即log3≥3，解得Q≥270.
1010
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位. 11.(2018·江苏卷选编)记f′(x)，g′(x)分别为函数f(x)，g(x)的导函数.若存在x0∈R，满足f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.
K12教育资料（小初高学习）
11
QQK12教育资料（小初高学习）
(1)证明：函数f(x)＝x与g(x)＝x＋2x－2不存在“S点”； (2)若函数f(x)＝ax－1与g(x)＝ln x存在“S点”，求实数a的值. (1)证明 函数f(x)＝x，g(x)＝x＋2x－2， 则f′(x)＝1，g′(x)＝2x＋2. 由f(x)＝g(x)且f′(x)＝g′(x)，得
??x＝x＋2x－2，?此方程组无解， ?1＝2x＋2，?
2
2
2
2
因此，f(x)与g(x)不存在“S点”. (2)解 函数f(x)＝ax－1，g(x)＝ln x， 1则f′(x)＝2ax，g′(x)＝.
2
x设x0为f(x)与g(x)的“S点”， 由f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，得
ax0－1＝ln x0，2????ax0－1＝ln x0，
即?2 (*) ?1
?2ax＝1，2ax＝，00??x0?
1
1－
得ln x0＝－，即x0＝e2，则a＝
2
2
e＝. 1?22?2?e－??2?
1
1
e－
当a＝时，x0＝e2满足方程组(*)，
2
即x0为f(x)与g(x)的“S点”. e
因此，a的值为. 2
K12教育资料（小初高学习） 12