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解析 当x≤0时，由x＋2ax＋a＝ax，得a＝－x－ax；当x>0时，由－x＋2ax－2a＝ax，
??－x－ax，x≤0，2
得2a＝－x＋ax.令g(x)＝?2 作出y＝a(x≤0)，y＝2a(x>0)，函数g(x)
?－x＋ax，x>0.?
2
222
的图象如图所示，g(x)的最大值为－＋＝，由图象可知，若f(x)＝ax恰有2个互异的
424实数解，则a<<2a，解得4
4
a2a2a2
a2
答案 (4，8)
探究提高 1.求解本题的关键在于转化为研究函数g(x)的图象与y＝a(x≤0)，y＝2a(x>0)的交点个数问题：常见的错误是误认为y＝2a，y＝a是两条直线，忽视x的限制条件. 2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.
【训练3】 (2018·湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是________.
解析 令y＝f(2x＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x＋1＝x－λ，只有一个实根，即2x－x＋1＋λ＝0只有一个实7根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.
87
答案 － 8
热点三 函数的实际应用
【例3】 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热
3x＋5层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值. 解 (1)当x＝0时，C＝8，∴k＝40，
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6
2
2
2
2
2
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40
∴C(x)＝(0≤x≤10)，
3x＋5
20×40800
∴f(x)＝6x＋＝6x＋(0≤x≤10).
3x＋53x＋5800
(2)由(1)得f(x)＝2(3x＋5)＋－10.
3x＋5令3x＋5＝t，t∈[5，35]， 800
则y＝2t＋－10≥2t800800
2t·－10＝70(当且仅当2t＝，即t＝20时等号成立)，
tt此时x＝5，因此f(x)的最小值为70.
∴隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元. 探究提高 解决函数实际应用题的两个关键点
(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题.
(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解.
【训练4】 (2018·大连质检)某海上油田A到海岸线(近似直线)的垂直距离为10海里，垂足为B，海岸线上距离B处100海里有一原油厂C，现计划在BC之间建一石油管道中转站
M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A处到原油厂C修建
管道的费用最低，则中转站M到B处的距离应为( ) A.52海里 C.5海里
5
B. 2海里 2D.10海里
解析 设中转站M到B处的距离为x海里，修造管道的费用为y，陆地上单位长度修建管道的费用为a，依题意，y＝a(3x＋10＋
22?1
100－x)，0≤x≤100，则y′＝?3×2×2???3x－1?－1?a＝??a.令y′＝0，得
x2＋100??x2＋100?
x52522
3x＝x＋100，解得x＝.∴当x＝时，y取得最小值.
22答案 B
1.指数函数与对数函数的图象和性质受底数a(a>0，且a≠1)的取值影响，解题时一定要注意讨论，并注意两类函数的定义域与值域所隐含条件的制约.
2.(1)忽略概念致误：函数的零点不是一个“点”，而是函数图象与x轴交点的横坐标.
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(2)零点存在性定理注意两点：
①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点. 3.利用函数的零点求参数范围的主要方法： (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解. 4.构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：
(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解. (2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法.
(3)构建f(x)＝x＋(a>0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解.
一、选择题
1.(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为10.则下列各数中与最接近的是( ) (参考数据：lg 3≈0.48) A.10
361
33
80
361
axMNB.10
80
53
C.10
73
D.10
93
M3361
解析 M≈3，N≈10，≈80，
N10
361
M3M3618093
则lg≈lg80＝lg 3－lg10＝361lg 3－80≈93.∴≈10.
N10N答案 D
2
2
2?33?32??2.(2018·潍坊三模)已知a＝??，b＝??，c＝log3，则a，b，c的大小关系是( )
?3??4?43A.a
B.b
232
解析 ∵y＝x3在(0，＋∞)上是增函数，∴a
3443答案 A
3.函数f(x)＝ln x＋e(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是( )
x?1?A.?0，?
?e??1?B.?，1? ?e?
C.(1，e) D.(e，＋∞)
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解析 函数f(x)＝ln x＋e在(0，＋∞)上单调递增，因此函数f(x)最多只有一个零点. 1?1?＋
当x→0时，f(x)→－∞；又f ??＝ln＋ee＝ee－1>0，
e?e?
1
1
x?1?x∴函数f(x)＝ln x＋e(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是?0，?.
?e?
答案 A
4.(2018·全国Ⅲ卷)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则( ) A.a＋b
B.ab
1111
解析 由a＝log0.20.3得＝log0.30.2，由b＝log20.3得＝log0.32，所以＋＝log0.30.2＋
abab11a＋blog0.32＝log0.30.4，所以0<＋<1，得0<<1.又a>0，b<0，所以ab<0，所以ab
abab答案 B
??ln（x＋1），x≥0，5.(2018·北京燕博园联考)已知函数f(x)＝?3若函数
?x－3x，x<0，?
y＝f(x)－k有三
个不同的零点，则实数k的取值范围是( ) A.(－2，2) C.(0，2)
3
B.(－2，1) D.(1，3)
2
解析 当x<0时，f(x)＝x－3x，则f′(x)＝3x－3，令f′(x)＝0，
∴x＝±1(舍去正根)，故f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减，又f(x)＝ln(x＋1)在x≥0上单调
递增.则函数f(x)图象如图所示.f(x)极大值＝f(－1)＝－1＋3＝2，且f(0)＝0.故当k∈(0，2)时，y＝f(x)－k有三个不同零点. 答案 C 二、填空题
6.(2018·浙江卷改编)已知λ∈R，函数f(x)＝?点，则λ的取值范围是________.
解析 令f(x)＝0，当x≥λ时，x＝4.当x<λ时，x－4x＋3＝0，
2
?x－4，x≥λ，?
2
??x－4x＋3，x<λ.
若函数f(x)恰有2个零
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则x＝1或x＝3.若函数f(x)恰有2个零点，结合如图函数的图象知，1<λ≤3或λ>4. 答案 (1，3]∪(4，＋∞)
7.将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝
aaent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有 L，则m的值
4
为________.
解析 ∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等， 1nt5n∴函数y＝f(t)＝ae满足f(5)＝ae＝a，
2
t11?1?5
可得n＝ln，∴f(t)＝a·??，
52?2?因此，当k min后甲桶中的水只有 L时，
4
kkaf(k)＝a·??＝a，即??＝，
22
∴k＝10，由题可知m＝k－5＝5. 答案 5
??ln x，x>0，
8.(2018·广州模拟)已知函数f(x)＝?若方程
?2x＋1，x≤0，?
?1?51
??4?1?51??4
f(x)＝ax有三个不同的实数
根，则a的取值范围是________.
解析 在同一坐标系内，作函数y＝f(x)与y＝ax的图象，当y＝ax是y＝ln x的切线时，设切点P(x0，y0)，∵y0＝ln x0，a＝(ln x)′|x＝x11＝，∴y0＝ax0＝1＝ln x0，x0＝e，故a＝.故y＝ax与y＝f(x)0x0e
1的图象有三个交点时，0
?1?答案 ?0，? ?e?
三、解答题
?log3（x＋1），x>1，?
9.(2018·雅礼中学月考)已知函数f(x)＝?
?log（5－x），x≤1.2?
(1)求方程f(x)＝3f(2)的解集；
(2)讨论函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点的个数. 解 (1)f(2)＝log33＝1，
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