（4）m = 2，n = 10，r0?3A， w = 4eV，求α、β
??10?? r0???2??? U(r0)??18?5??8??? ①
????1?r20?r.10??4?5r02???(r08?5??代入)
?W??U(r0)??4??4eV ② 5r02?19将r0?3A，1eV?1.602?10J代入①②
??7.209?10?38N?m2 ??1152??9.459?10N?m详解：（1）平衡间距r0的计算 晶体内能U(r)?N??(?m?n) 2rr1n?n?m?n?)m ?0，?m?1?n?1?0，r0?(m?r0r0dU平衡条件
drr?r0（2）单个原子的结合能
11n?n???W??u(r0)，u(r0)?(?m?n))m ，r0?(2m?rrr?r01mn?n??mW??(1?)()m
2nm??2U)?V0 （3）体弹性模量K?(2V0?V晶体的体积V?NAr，A为常数，N为原胞数目 晶体内能U(r)?3N??(?m?n) 2rr?U?U?rNm?n?1??(m?1?n?1) 2?V?r?V2rr3NAr?2UN?r?m?n?1?[(?)] 2m?1n?12?V2?V?rrr3NAr?2U?V2N1m2?n2?m?n??[?m?n?m?n] 29V02r0r0r0r0V?V0由平衡条件
?U?V?V?V0m?n?Nm?n?1，得?n (m?1?n?1)?0m2r0r02r0r03NAr06
?2U?V2?2U?V2V?V0N1m2?n2??[?m?n] 29V02r0r0?N1m?n?Nnm??[?m?n]??[??n] 2mn2m29V0r0r029V0r0r0V?V0U0??2U?V2N??(?m?n) 2r0r0?V?V0mnmn(?U) 体弹性模量 K?U0029V09V0（4）若取m?2,n?10,r0?3A,W?4eV
1n?n?1mn?n??mmr0?()，W??(1?)()m
m?2nm???W10?r0，??r02[10?2W] 2r0??1.2?10-95eV?m10，??9.0?10?19eV?m2
2.7、对于H2，从气体的测量得到Lennard—Jones参数为??50?10J,??2.96A.计算fcc结构的H2的结合能[以KJ/mol单位)，每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为0.751kJ／mo1，试与计算值比较．
＜解＞ 以H2为基团，组成fcc结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard—Jones势相互作用，则晶体的总相互作用能为：
6???12???12?????6?U?2N???Pij????Pij???.
?R??R??j??i??6?j?P?6?14.45392;??Pij?12?12.13188,iji??50?10?16erg,??2.96A,N?6.022?1023/mol.将R0代入U得到平衡时的晶体总能量为U?2?6。022?10/mol?50?1028?16126因此，计??2.96??2.96??erg???12.13?????14.45??????2.55KJ/mol.3.163.16????????算得到的H2晶体的结合能为2．55KJ／mol，远大于实验观察值0.75lKJ／mo1．对于H2的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大
差别的原因．
7
第三章 固格振动与晶体的热学性质
3.2、讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其2N个格波解，当M= m时与一维单原子链的结果一一对应。
解：质量为M的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；质量为m的原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……。
牛顿运动方程
m?2n???(2?2n??2n?1??2n?1)M?2n?1???(2?2n?1??2n?2??2n)
N个原胞，有2N个独立的方程
设方程的解
?2n?Aei[?t?(2na)q]?2n?1?Bei[?t?(2n?1)aq]，代回方程中得到
2??(2??m?)A?(2?cosaq)B?0 ?2???(2?cosaq)A?(2??M?)B?0A、B有非零解，
2??m?2?2?cosaq2?2?cosaq2??M?2?0，则
1(m?M)4mM2???{1?[1?sinaq]2} 2mM(m?M)两种不同的格波的色散关系
1(m?M)4mM2???{1?[1?sinaq]2}2mM(m?M)2?2????(m?M)4mM2{1?[1?sinaq]}2mM(m?M)12
一个q对应有两支格波：一支声学波和一支光学波.总的格波数目为2N.
???当M?m时
4?aqcosm24?aqsinm2，
???两种色散关系如图所示： 长波极限情况下q?0，sin(qaqa)?， 22???(2?m)q与一维单原子晶格格波的色散关系一致.
3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为?和10?，令两种原子质量相等，且最近邻原子间距为a2。试求在q?0,q??a处的?(q)，并粗略画出色散关系曲线。此问题模拟如
H2这样的双原子分子晶体。
8
答：（1）
浅色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；深色标记原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……。 第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程：
m?2n??(?1??2)?2n??2?2n?1??1?2n?1m?2n?1??(?1??2)?2n?1??1?2n?2??2?2n体系N个原胞，有2N个独立的方程
1i[?t?(2n)aq]21i[?t?(2n?1)aq]21iaq2
方程的解：
?2n?Ae，令?12??1/m,2?2??2/m，将解代入上述方程得：
?2n?1?Be21222(?????)A?(?e(?e1?iaq22121??e221?iaq2)B?0??e1iaq222
2)A?(?12??2??2)B?0A、B有非零的解，系数行列式满足：
(?????),(?e21211?iaq22121222?(?e211iaq2??e221?iaq2)??e1iaq222?0
1?iaq21?iaq21iaq21iaq22),?(?12??2??2)(?????)?(?e(?????)?(?e2222212222211iaq21iaq2??e??e222221?iaq21?iaq2)(?e)(?e2121??e??e2222)?0 )?0
因为?1??、?2?10?，令?0??1?24(11?0??2)2?(101?20cosaq)?0?0
2c10c22,?2??10?0得到 mm22两种色散关系：???0(11?20cosqa?101)
当q?0时，???(11?121)，
220???22?0???0
当q??a时，???(11?81)，
220???20?0???2?0
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（2）色散关系图：
3.6.求出一维单原子链的频率分布函数??w?。
3.7、设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有?(q)??0?Aq2 求证：f(?)?V11/2???,???0;f(?)?0,???0. ??023/24?A2212＜解＞???0时，???0?Aq?0f(?)?0,??0??0???Aq?q?A依据?q?(q)??2Aq,f(?)?3?2?????0???12
Vds，并带入上边结果有
?q?(q)dsV1A1/2V11/2f???????24???0?????3/2??0??? 331/22?2???q?(q)?2??2A??0????2??AV3.10、设晶体中每个振子的零点振动能为
1?，使用德拜模型求晶体的零点振动能。 2证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K时振动能E0就是各振动模零点能之和。E0???m0E0???g???d?将E0????13V?和g????23?2代入积分有 22?vsE0?93V94??k?得E?NkB?D ，由于??N?mBD0mm23816?vs82一股晶体德拜温度为~10K，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟． 3.11、一维复式格子m?5?1.67?10
?24g,M?4,??1.5?101N/m(即，光1.51?104dyn/cm),求（1）m10