00A学波?max，声学波?max。 ,?min（2）相应声子能量是多少电子伏。 （3）在300k时的平均声子数。
0（4）与?max相对应的电磁波波长在什么波段。
＜解＞（1），?Axam2?2?1.5?104dyn/cm311????3.00?10s, 24M4?5?1.67?10
?omax2??M?m?2?1.5?104??4?5?5??1.67?1024dyn/cm???6.70?1013s?12424Mm4?5?1.67?10?5?1.67?10?Amax2?2?1.5?104dyn/cm13?1???5.99?10s 24m5?1.67?10A?max?6.58?10?16?5.99?1013s?1?1.97?10?2eVo?16（2）?max?6.58?10?6.70?1013s?1?4.41?10?2eV
o?min?6.58?10?16?3.00?1013s?1?3.95?10?2eVAn（3）max?1eA?max/kBT?1O?0.873,nmax?1eO?max/kBT?1?0.221
Onmin?1eO?min/kBT?1?0.276
（4）??2?c??28.1?m
11
第四章 能带理论
4.2、写出一维近自由电子近似，第n个能带(n=1，2，3)中，简约波数k?*k?的0级波函数。 2a?2?ximx)x1ikx1ikxi2a?mx1i21i2a?(m?1aa4＜解＞?(x)? e?ee?e?e?eLLLL?x1i2第一能带：m??0,m?0,?(x)?ea
2aL?*k2?3??ixixi2?2?1*第二能带：b?b?则b??b,m???,即m??1,（ea=e2a）??k(x)?e2a
aaL?2?5?ixixix2?2?11*第三能带：c??c,m??,即m?1,?k(x)?e2a?ea?e2a
aaLL4.3、电子在周期场中的势能．
122?m?2?b?(x?n)a, 当na?b?x?na? b ?? 2V(x)? 0 ， 当(n-1)a+b?x?na?b
其中d＝4b，?是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度．
＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示．
(2)势能的平均值：由图可见，V(x)是个以a为周期的周期函数，所以
V(x)?11a1a?bV(x)?V(x)dx?V(x)dx ???Lb?bLaa题设a?4b，故积分上限应为a?b?3b，但由于在?b,3b?区间内V(x)?0，故只需在??b,b?区间内积分．这时，n?0，于是
1bm?2b22m?2V??V(x)dx?(b?x)dx???b?ba2a2a?2?bx?b?b1?x33b?b?12。 ?m?b?6?（3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数
V(x)?V0?
m??????m?22bm?1bm?Vmcosx,Vm?V(x)cosxdx?V(x)cosxdx2b2b?02bb?02b12
m?2第一个禁带宽度Eg1?2V1,以m?1代入上式,Eg1?b利用积分公式ucosmudu??b0(b2?x2)cos?x2bdx
?2u2musinmu?2cosmu??????m3sinmu得 m2?Eg1?16m?2?3b2第二个禁带宽度Eg2?2V2,以m?2代入上式,代入上式
b22m?2Eg2?b?0(b?x)cos?xbdx再次利用积分公式有Eg2?2m?2?2b2
4.4、用紧束缚近似模型求出面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相对应的能带Es(k)函数。 解：我们求解面心立方，同学们做体立方。
（1）如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S态电子的能量可表示成：
Es(k)??s?J0?Rs?近邻?J(Rs)e?ik?(Rs)
在面心立方中，有12个最近邻，若取Rm?0，则这12个最近邻的坐标是： ①
aaaa(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0) 2222aaaa(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1) 2222aaaa(1,0,1)(1,0,1),(1,0,1),(1,0,1) 2222②
③
由于S态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此J(RS)有相同的值，简单表示为J1=J(RS)。又由于s态波函数为偶宇称，即?s(?r)??s(r)
∴在近邻重叠积分?J(Rs)??i(??Rs)??U(?)?V(Rs)???i(?)d?中，波函数的贡献为正 ∴J1＞0。
于是，把近邻格矢RS代入Es(RS)表达式得到：
?*Es(k)??S?J0?J1Rs?近邻aaa(kx?ky)?i(kx?ky)?i(?kx?ky)?i(?kx?ky)??ia?e2?e2?e2=?S?J0?J1?e2
??e?ik?Rs
13
?ea?i(ky?kz)2?ea?i(ky?kz)2?ea?i(?ky?kz)2?ea?i(?ky?kz)2+ea?i(kx?kz)2?ea?i(kx?kz)2?ea?i(?kx?kz)2?ea?i(?kx?kz)2?? ?=?S?J0?2J1??cos(kx?ky)?cos(kx?ky)???cos(ky?kz)?cos(ky?kz)?
????a2a2????a2a2??a?????cos(kz?kx)?cos(kz?kx)??
2????cos(???)?cos(???)?2cos?cos?
??aaaaaa?kxcosky?coskycoskz?coskzcoskx? 222222?=?s?J0?4J1?cos（2）对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是：
aaaaaa(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1) (1,1,1),222222aaaEs(k)??s?J0?8J1(coskxcoskycoskz)
222a(1,1,1,),2a(1,1,1 ),2(1,1,1)4.7、有一一维单原子链，间距为a，总长度为Na。求（1）用紧束缚近似求出原子s态能级对应的能带E(k)函数。（2）求出其能态密度函数的表达式。（3）如果每个原子s态只有一个电子，求等于T=0K的
00费米能级EF及EF处的能态密度。
＜解＞（1）E(k)??s?J0?J1(eika?e?ika)??s?J0?2J1coska?E0?2J1coska
??ik?Rs?E(k)?E?J?J(p)e?0s?? ??(2) ,N(E)?2?Ldk2Na1N?2??? 2?dE?2J1asinka?J1sinka(3), N??0kF002NakFNa?002?(k)?2dk?2??2kF??kF?
2??2a00EF?E(kF)?E?2J1cos?2a0?a?Es,N(EF)?N?J1sin?2a??aN ?J1?2?x??2?y?cos???. aa????4.12、正方晶格．设有二维正方晶格，晶体势为U?x,y???4Ucos?用基本方程，近似求出布里渊区角?
????,?处的能隙． ?aa?14
?,b??,? ＜解＞以ij表示位置矢量的单位矢量，以b12表示倒易矢量的单位矢量，则有，
??Gb??2?gb????yi?,G?G1br?xi 12211?g2b2,g1,g2为整数。a??晶体势能U?x,y???4Ucos??2?x??2?y?cos???. aa?????i2??x?i2??x??i2??y?i2??y?iG?11?U?r???U?e?ee?eUe????G?11?????G?11?其中UG?11???U，而其他势能傅氏系数UG?10??UG?20??...?0。这样基本方程
??k???C?K???UGG(K?G)?0变为
G??K???C?K??UG?11?C?K?G?11???UG?11?C?K?G?11???UG?11?C?K?G?11???UG?11?C?K?G?11???0求布里
渊区角顶?111????,?，即k?G(,)?G?11?处的能隙，可利用双项平面波近似
222?aa?来处理。
??C(K)eiKr?C(K?G)ei(K?G)r22当K?1G?11?,K??1G?11?时依次有
K?G?11???11G?11?,K?G?11???G?11?而其他的22K?G?11?，
K?G?11??G?11??1??1?C?G?11??,C?K?G?11???C??G?11??;，所以在双项平面波近似下上式中只有?2??2?
?1??1?C?G?11??,CK?G?11??C??G?11??;?2??2??????1??1???1G?11????C?G?11???UC??G?11???0??2??2??2???1??1????1G?11????C??G?11???UC??G?11???0??2??2??2 ?12G?11??? ?u
?u
2?1?G?11?2?? =0，因为
222?12G?11???1?G?11?2??1????G11????2m?ma2?2?222由行列式有(???)?U?0解得?=??U??2ma2?U,所以在（,-）处的能隙为??=?+????2u.
aa
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??
第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动
5.1、设有一维晶体的电子能带可写成 E(k)?是电子的质量。
试求（1）能带宽度；
（2）电子在波矢k状态的速度； （3）带顶和带底的电子有效质量。
71(?coska?cos2ka)， 其中a为晶格常数，m2ma882 解：（1） E(k)?71(?coska?cos2ka) 2ma8821?272
=?－coska+(2coska－1)] 288ma2 ＝
4ma2?(coska－2)2－1?
当ka＝(2n+1)?时,n=0,?1,?2…
22 Emax(k)?
ma2 当ka=2n?时, Emin(k)?0 能带宽度＝Emax?Emin （2）??*22? 2ma
1dE(k)1?(sinka?sin2ka) dkma4?2?1 (3) m???2E??m(coska?cos2ka)?1
2??k2??? 当k?0时,带底，m*?2m 当k???2时,带顶，m*??m a3 16