3． 已知：在△ABC中，AB>AC,AD为∠BAC的平分线，M为AD上任一点。
求证：BM-CM>AB-AC
4．
已知：D是△ABC的∠BAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DB、
DC。求证：BD+CD>AB+AC。
（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等
过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
A例1． 如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。 求证：∠ADC+∠B=180
D分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。
BEFC图2-1例2． 如图2-2，在△ABC中，∠A=90 ，AB=AC，∠ABD=∠CBD。 求证：BC=AB+AD
分析：过D作DE⊥BC于E，则AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。
例3． 已知如图2-3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：∠BAC的平分线也经过点P。
分析：连接AP，证AP平分∠BAC即可，也就是证P到AB、AC的距离相等。
练习：
1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA，PD⊥OA，
如果PC=4，则PD=（ ）
OCPDABNDPMFCABECAD图2-2图2-3B图2-4 A 4 B 3 C 2 D 1
2．已知在△ABC中，∠C=90 ，AD平分∠CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。 3．已知：如图2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE⊥AB，
1AE=2（AB+AD）.求证：∠D+∠B=180 。
A4.已知：如图2-6,在正方形ABCD中，E为CD 的中点，
BECDF为BC
上的点，∠FAE=∠DAE。求证：AF=AD+CF。 5．
图2-5已知：如图2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ,CD⊥AB，垂足为D，AE
平分∠CAB交CD于F，过F作FH//AB交BC于H。求证CF=BH。
BADCEEFADHB图2-6FC图2-7（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形
从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。
例1． 已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。求证：DH=
1（AB-AC） 2EBHA分析：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。
例2． 已知：如图3-2，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。
BDC图示3-1FAED图3-2C分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。
例3．已知：如图3-3在△ABC中，AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线，过顶点B作BFAD，交AD的延长线于F，连结FC并延长
A交AE于M。
求证：AM=ME。
分析：由AD、AE是∠BAC内外角平分线，可得EA⊥AF，从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。
BFNDCME图3-3例4． 已知：如图3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延长线于M。求证：AM=
1（AB+AC） 21EC，另外2分析：题设中给出了角平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换，作△ABD关于AD的对称△AED，然后只需证DM=
AEFBDMnC1由求证的结果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可
2尝试作△ACM关于CM的对称△FCM，然后只需证DF=CF即可。
练习： 1．
图3-4已知：在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中点，AE是∠BAC的平分
线，且CE⊥AE于E，连接DE，求DE。
2．
已知BE、BF分别是△ABC的∠ABC的内角与外角的平分线，AF⊥BF
1BC 2于F，AE⊥BE于E，连接EF分别交AB、AC于M、N，求证MN=
（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线
有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。
CHDEAFGBBAIC图4-1图4-2
例4 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。
例5 如图，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求证：∠A+∠C=180。
例6 如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：AD=AB+CD。 练习：
1. 已知，如图，∠C=2∠A，AC=2BC。求证：△ABC是直角三角形。
A
B E
D C C
B
D
A
B
A 1 2 D C
2．已知：如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：DC⊥AC
A C B
A
B 1 2 C
D 3．已知CE、AD是△ABC的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD
4．已知：如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：BC=AB+AD
B C A D
B
E A
D C 三 由线段和差想到的辅助线
口诀：
线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：