例1．如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。
解：因为AD是ΔABC的中线，所以SΔACD=SΔABC=×2=1，又因CD是ΔACE的中线，故SΔCDE=SΔACD=1，
因DF是ΔCDE的中线，所以SΔCDF=SΔCDE=×1=。 ∴ΔCDF的面积为。
（二）、由中点应想到利用三角形的中位线
例2．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。
证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF， ∵ME是ΔBCD的中位线， ∴ME
CD，∴∠MEF=∠CHE，
∵MF是ΔABD的中位线， ∴MF
AB，∴∠MFE=∠BGE，
∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE， 从而∠BGE=∠CHE。
（三）、由中线应想到延长中线
例3．图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。 解：延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD=2×2=4。 在ΔACD和ΔEBD中， ∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，
∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE， 从而BE=AC=3。
在ΔABE中，因AE+BE=4+3=25=AB，故∠E=90°， ∴BD=
=
=
，故BC=2BD=2
。
2
2
2
2
2
例4．如图5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。
证明：延长AD到E，使DE=AD。 仿例3可证： ΔBED≌ΔCAD， 故EB=AC，∠E=∠2， 又∠1=∠2， ∴∠1=∠E，
∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。
（四）、直角三角形斜边中线的性质
例5．如图6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求证：AC=BD。 证明：取AB的中点E，连结DE、CE，则DE、CE分别为RtΔABD，RtΔABC斜边AB上的中线，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE。
∵AB//DC，
∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2， ∴∠1=∠2，
在ΔADE和ΔBCE中，
∵DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，
∴ΔADE≌ΔBCE，∴AD=BC，从而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。
（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线
例6．如图7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。
证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中， ∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°， ∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。 又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。
在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，
∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。 注：此例中BE是等腰ΔBCF的底边CF的中线。
（六）中线延长
口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。
题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。
例一：如图4-1：AD为△ABC的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE+CF>EF。
证明：廷长ED至M，使DM=DE，连接CM，MF。在△BDE和△CDM中，
BD=CD（中点定义） ∠1=∠5（对顶角相等） ED=MD（辅助线作法） ∴△BDE≌△CDM（SAS） 又∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知）
AEFB2314DC图4?1M∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角的定义） ∴∠3+∠2=90° 即：∠EDF=90° ∴∠FDM=∠EDF=90° 在△EDF和△MDF中 ED=MD（辅助线作法） ∠EDF=∠FDM（已证） DF=DF（公共边） ∴△EDF≌△MDF（SAS）
∴EF=MF（全等三角形对应边相等）
∵在△CMF中，CF+CM>MF（三角形两边之和大于第三边） ∴BE+CF>EF
上题也可加倍FD，证法同上。
注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。
例二：如图5-1：AD为△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD。
分析：要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE ∵AD为△ABC的中线（已知） ∴BD=CD（中线定义） 在△ACD和△EBD中 BD=CD（已证） ∠1=∠2（对顶角相等） AD=ED（辅助线作法） ∴△ACD≌△EBD（SAS）
∴BE=CA（全等三角形对应边相等）
∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形两边之和大于第三边）
E图5?1BDCA∴AB+AC>2AD。 练习：
1 如图，AB=6，AC=8，D为BC 的中点，求AD的取值范围。
B D C
6 A
8 2 如图，AB=CD，E为BC的中点，∠BAC=∠BCA，求证：AD=2AE。
B
E
C
D
A 3 如图，AB=AC，AD=AE，M为BE中点，∠BAC=∠DAE=90°。求证：AM⊥DC。
B
D D AD M CD ED 4，已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF=2AD。
5．已知：如图AD为△ABC的中线，AE=EF，求证：BF=AC
B
D
C
EAFBCD图5?2A E F