表2 五组A的圆心坐标
A计算值 总值 p 323.006 308.75 309 321.1752 321.3863 1583.3175 q 188.9914 203.75 184 190.3574 188.864 955.9628 A近似值 均值 P 323 309 309 321 321 317 q 189 204 184 191 189 191 注意：在这个过程中将会遇到数值变换的问题，我们依据实际情况，将所取得相对应的a,b,p,q中存在复数，负数等不符合的去掉，而且在像素二进制坐标图上取值可能有偏差，我们忽略不计，才得到以上五组坐标数据。其中有些数据因为小数点后数位较多??4?经过四舍五入后得到以简化过程。关于B，C，D，E的计算值和近似值可参见附录1。同时可以得到相对应的a,b，的五组数据，我们采取加总求平均值得到能够合理代替椭圆的中心坐标（p，q）,相同的的可以得到长半轴，短半轴的均值，结果如表3：
表3 p、q、a、b的值 A B C D E p q a b 317 418 638 593 290 191 192 222 502 503 43.9066 45.8895 37.708 30.3235 38.5096 38.65 39.2487 51.7237 36.6289 36.2061 由表3直接得到A，B，C，D，E得近似椭圆图像的标准方程式：
A：
?x?317?4422??y?191?3922?1
B：
?x?418?4622??y?192?3922?1
C：
?x?638?3822??y?222?5222?1
D：
?x?593?3022??y?502?3722?1
E：
?x?290?3922??y?503?3622?1
解得A、B、C、D、E点在像平面上的投影A'、B'、C'、D'、E'的像素坐标分别为?317,191?、?418,192?、?638,222?、?593,502?、?290,503?。把（2）
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x?a?xc?1?sx?式变形得：?y?b?y?1c?sy? （3），代入相关已知量x1、y1、a、b、sx、syy1得：五
个点在像平面上的物理坐标分别为：??51.6,?51.1?、??24.9,?50.8?、?33.3,?42.9?、
?21.4,31.2?、??58.7,31.5?。
对所求椭圆图像标准方程进行误差分析：
在模型求解中对得到的多个中心点坐标定性的分析，改变数据的统计分布，采用加权平均法和排除法修正误差确定中心点，相比较，对于误差的处理采用最小二乘法，以MATLAB处理数据，可以得到更精确的中心点。最小二乘法是为了确定t 个不可直接测量的未知量X1,X2,X3，……，Xt，可对与该t 个未知量有线性关系的直接测量量Y?Y?a1X1?a2X2,……atXt?进行n 次测量，测得数据
为:l1,l2,l3,……,ln。设直接测量量Y1,Y2,Y3,……Yn的估计值用y1,y2,y3,……yn，则线性参数的测量方程为：
?Y1?a11X1?a12X1???a1tX1??Y2?a21X1?a22X1???a2tX1 ????Y?aX?aX???aXn11n21nt1?n
相应的估计量为：
?y1?a11x1?a12x1???a1tx1??y2?a21x1?a22x1???a2tx1 ????y?ax?ax???axn11n21nt1?n
由于存在误差，其误差方程为：
?v1?l1??a11x1?a12x1???a1tx1???v2?l2??a21x1?a22x1???a2tx1? ????v?l?ax?ax???ax?n11nn21nt1??n
由最小二乘法可知: 参数的最佳值应在残余误差平方和为最小的条件下给出，即
应满足:
n?i?1vi?v1?v2???vn?min 2222
利用极值的偏倒数为零的性质，现用残余误差平方和对t个未知量求偏导，并令
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其为零，可得到t个方程，整理后得:
?2ax??ai1ai2x2????i11?1?1n?n2??ai2x1??ai2ai2x2????11???nn?2??aitx1??aitai2x2????11nnnn?1nai1aitxt??1nai1li?1nai2aitxt??1nai2li
?1aitaitxt??1aitli此方程即为线性参数最小二乘法处理的正规方程，方程的个数等于未知量的
个数，有唯一确定的解，由此可解得欲求的估计量。利用最小二乘法可取真实像图中的坐标来与所求方程的的y值做比较拟合，得到更精确的中心坐标 问题三：
由于，相机可能有畸变引起的对物象定位的不稳定性和误差，所以，我们设计了一种在考虑相继光学镜头畸变系数的条件下相机的标定方法，并根据一直的物、像点对该方法进行了验证，对其误差和稳定性进行了分析。
?a1a首先，进行初步检验，参数矩阵M???5??a9a2a6a10a3a7a11a4??a8?a12??，由式（1）以及物
坐标?xw,yw,zw,1?和像的物理坐标?x1,y1?，我们把矩阵模型转化成相应的方程，对M进行求解，我们用matlab实现，程序见附录3。
?0.77?11求得的结果如下：M??????5.31?0.0016?0.0240.000630000.018???0.82?1??，为了进行检验，我们
把E点的物坐标??50,?50,0?，代入（1）式解出E''与E'进行比较，算的误差率为0.03。
其次，以物平面的中心为圆心建立直角坐标系?单位：mm?，A，B，C，D，E的圆心坐标及其方程如下：
A??50,50?， B??20,50?， C?50,50?，
?x?50??x?2??y?50??y?50??y?50?2?12?12?12?122； ； ； ；
20??2222 ?x?50??x?50???22D?50,?50?，
2?y?50?22 13
E??50,?50?，?x?50??2?y?50?2?122；
再次，以光点为圆心在像图上建立直角坐标系?单位：像素?
A?317,191?,
?x?317?4422??y?191?3922?1
B?418,192?,
?x?418?4622??y?192?3922?1
C?638,222?,
?x?638?3822??y?222?5222?1
D?593,502?,
?x?593?3022??y?502?3722?1
E?290,503?,
?x?290?3922??y?503?3622?1
通过附录1将随机取得两个点k’，l’代入相应的方程后，求得模型的计算结果与实际图像测量结果存在误差，随即进行最小二乘法的误差分析，可知有些因素对所成像有一定影响。“畸变”就是其中的一种影响因素，它是由于透镜的放大率随光束和主轴间所成角度改变而引起。光线离主轴越远，畸变越大，但是若与主轴正交并通过主轴，则不发生畸变。减小畸变的方法是，对单一透镜改变镜片在前面问题的模型假设中的外形，采用最佳的外形可以使畸变减小到最小程度。我们假设不发生畸变，即畸变系数为0。但由以上的分析知畸变存在，即畸变系数不为0。
图11 畸变后的坐标图
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求得模型所求解的结果与图像存在误差，经过最小二乘法的误差分析可知，有些因素对所成像有影响，“畸变”是因素之一。畸变是像差的一种。是由于透镜的放大率随光束和主轴间所成角度改变而引起。光线离主轴越远，畸变越大，但是若与主轴正交并通过主轴，则不发生畸变。在前面问题的模型假设中，我们假设不发生畸变，即畸变系数为o，但实际上，如（图像七），p’为真实测得的像点，即发生畸变后的像点，在这里我们对畸变中的一阶径向畸变产生的误差进行分析，其他畸变将在模型扩展中补充说明。
如图11所示，，设?xw,yw,zw?是三维世界坐标系中物体点p的三维坐标，
?x,y,z?是同一点，p在照相机坐标系中的三维坐标，照相机坐标系定义为：中心在O点（光学中心），z（zw）轴与光轴重合。?xc,yc?是在理像状态下p点的图像坐标，?xc,yc?是由透镜畸变引起的偏离?xc,yc?的实际图像坐标。
**问题四：
用一种数学模型来精确地确定两部固定相机的相对位置，这一过程运用了双目定位的系统标定，用于标定相机的内外参数。根据内外参数与相对位置的几何关系，进而确定了两部固定相机相对位置。 5.3 模型的建立和求解：
为达到确定相对位置的目的，我们可以采用反推的方法：先获得靶标上的点在它们像平面的像点的坐标，利用这几组像点的几何关系就可以经过直角坐标系的空间变换和矩阵的分解，得到了两部相机的内外参数，得到这两部相机的相对位置，，从而还可以利用几何的方法得到这些特征点在任一固定数码相机的坐标系中的坐标，恰如问题分析中所示的流程图思想。
模型建立如下：
世界坐标系表示的P的坐标与投影点p的坐标?x1,y1?的关系如下??：
1?x1??sx????y1?0??????1???00sy0?xw?T?yw??1??zw??1a??b?1???f?0???00f00010??0?0???R??0?xw?T?yw??1??zw??1?xw?y?w?zw??1???????xw?y?w?zw??1??xw????yw??M????zw????1???
?sx??0???00sy0ab10???R0??0?0????a1????a?5????a9?a2a6a10a3a7a11a4??a8?a12??????MM1???2其中：M为3?4矩阵，称为投影矩阵，内部包含内外参数。M1完全由sx,sy决定，由于sx,sy,a,b,a,b只与照相机的内部结构有关，故称M1为内部参数矩阵，M2
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