第2章 赋范线性空间
虽然不允许我们看透自然界本质的秘密,
从而认识现象的真实原因,但仍可能 发生这样的情形：一定的虚构假设
足以解释许多现象.
L.Eurler (欧拉) (1707-1783,瑞士数学家)
E.Schmi在dt1908 年讨论由复数列组成的空间{(zi):?12?|zi?1?i|2??} 时引入记号
||z||来表示(?zizi),||z||后来就称为z的范数.赋范空间的公理出现在F.Riesz在 1918
i?1年关于C[a,b]上关于紧算子的工作中,但赋范空间的定义是在 1920到1922年间由 （1892—1945）、、S.BanachH.Hahn（1879—1934）E.Hylel（1884—1943）和 N.Wiener（1894—1964）给出的,其中以S.Banach的工作最具影响.
2.1赋范空间的基本概念
线性空间是Giuseppe在1888年出版的书Geometrical Calculus中引进Peano的.S.Banach在1922年的工作主要是建立具有范数的完备空间,以后为了纪念他称之为
Banach空间.他定义的空间满足三组公理,第一组公理定义了线性空间,第二组定义了范数,
第三组给出了空间的完备性.
定义2.1.1 设K是实数域R或复数域C,X是数域K上的线性空间,若||?||是X到R 的映射,且满足下列条件：
(1) ||x||?0且||x||?0 当且仅当x?0; (2) ||?x||?|?|||x||,对任意x?X和任意??K ;
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(3) ||x?y||?||x||?||y||,对任意x,y?X .
则称||?||为X上的范数,而||x||称为x的范数,这时称(X,||?||)为赋范线性空间.
明显地,若(X,||?||)为赋范线性空间,则对任意x,y?X,定义d(x,y)?||x?y||时,(X,d)为度量空间,但对一般的度量空间(X,d),当X为线性空间时,若定义
||x||?d(x,0),则||x||不一定就是X上的范数.
例2.1.1 设s数列全体,则明显地,s为线性空间,对任意的x,y?s, 定义
d(x,y)??i?1?|xi?yi|
i!(1?|xi?yi|) 则
d(x,0)??i!(1?|x|)
i?1i?|xi| 但
d(?x,0)??i?1?|?||xi|?|?|d(x,0)
i!(1?|?||xi|)取x0?(1,0,?,0),?0?1,则 2d(?0x0,0)?而
121?12?1 3111|?0|d(x0,0)???
224因此
d(?0x0,0)?|?0|d(x0,0)
所以,d(x0,0)不是s上的范数.
问题2.1.1 对于线性空间X上的度量d, 它满足什么条件时,||x||?d(x,0)才能成为范数？
定理2.1.2 设X是线性空间,d是X上的度量,在X上规定||x||?d(x,0),则X成为赋范线性空间的条件是：
(1) d(x,y)?d(x?y,0),对任意x,y?X ；
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(2) d(?x,0)?|?|d(x,0),对任意x?X和任意??K.
下面举出赋范线性空间的一些例子.
例2.1.3 对于l1?{(xi)|xi?K,是赋范线性空间.
例2.1.4 对于1?p??,lp?{(xi)|xi?K,??|xi?1?i|??},||x||??|xi|是l1的范数, 即(l1,||?||)i?1??|xi?1p?i|p??}在范数
||x||?(?|xi|)
i?11p下是赋范线性空间.
例2.1.5 l??{(xi)|xi?K,sup|xi|??}在范数||x||?sup|xi|下是赋范线性空间. 例2.1.6 c0?{(xi)|xi?K,limxi?0}在范数||x||?sup|xi|下是赋范线性空间.
i??},在范数||x||?sup|x(t)|下是赋范例2.1.7 C[a,b]?{x(t)|x(t)为[a,b]上的连续函数线性空间.
由于赋范线性空间在度量d(x,y)?||x?y||下是度量空间,因此,在度量所引入的序列收敛,开(闭)集、稠密和紧集等概念都可以在赋范线性空间中使用.
定义2.1.2 设X是赋范空间{xn}?X,x0?X, 若xn依度量d(x,y)?||x?y||收敛于x0, 即lim||xn?x0||?0,则称xn依范数||?||收敛于x0,记为
n??||?||xn???x0
在赋范线性空间中,仍然用U(x0,r)?{x?X|||x?x0||?r}记以x0为球心,r为半径的开球,用B(x0,r)?{x?X|||x?x0||?r}记以x0为球心,r为半径的闭球. 为了方便,用
SX?{x?X|||x||?1}记以0为球心,1为半径的闭单位球面. 用BX?{x?X|||x||?1}记
以0为球心,1为半径的闭单位球. 用UX?{x?X|||x||?1}记以0为球心,1为半径的开单位球.
例2.1.8 在Euclid空间R中,对于x?(x1,x2)可以定义几种不同的范数:
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2||x||1?|x1|?|x2|
||x||2?(|x1|?|x2|)
||x||3?max{|x1|,|x2|}
2212B(x0,1)在不同范数下的形状为： B1?{x|||x||1?1}
B2?{x|||x||2?1}
B3?{x|||x||3?1}
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则对x0?(0,0),r?1, 闭球
思考题2.1.1 设(X,||?||)是赋范线性空间,问开球U(x0,r)的闭包是否一定是闭
B(x0,r)?
思考题2.1.2 设(X,||?||)是线性空间,问闭球B(x0,r)内部是否一定是开球U(x0,r)?
在赋范线性空间中,加法与范数都是连续的.
定理2.1.8 若(X,||?||)是赋范空间xn?x0,yn?y0,则xn?yn?x0?y0. 证明 由||(xn?yn)?(x0?y0)||?||xn?x0||?||yn?y0||可知定理成立. 定理 2.1.9 若(X,||?||)是赋范空间,xn?x0,则||xn||?||x0||. 证明 由||xn||?||xn?x0||?||x0||和||x0||?||xn?x0||?||xn||,可知
|||xn||?||x0|||?||xn?x0||,因此||xn||?||x0||.
定义2.1.3 设(X,||?||)是赋范线性空间,若{xn}?X,||xm?xn||?0(m,n??)时, 必有x?X,使||xn?x||?0, 则称(X,||?||)为完备的赋范线性空间.
根据M.Frechet[Espacesabstraits,Gauthier?Villars,Paris,1928]的建议,完备的赋范线性空间称为Banach空间.
不难证明,R,co,lp(1?p??),l?都是Banach空间.
在数学分析中,曾讨论过数项级数,函数项级数,类似地,在赋范线性空间中,也可定义无穷级数.
定义2.1.4 设(X,||?||)是赋范线性空间,若序列{Sn}?{x1?x2????xn}收敛于某个x?X时,则称级数
n?xn?1?n收敛,记为x??xn?1?n.
定义2.1.5 设(X,||?||)是赋范线性空间,若数列{||x1||?||x2||????||xn||}收敛时, 则称级数
?xn?1?n绝对收敛.
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