例题2.4.1 设X是赋范线性空间,试证明对任意x0?X,有
||x0||?证明 对任意f?X,||f||?1,有
?sup||f||?1,f?X?|f(x0)|
|f(x0)|?||f||||x0||?||x0||
因此
||x0||?||f||?1,f?X??sup|f(x0)|
另外, 但对x0?X,x0?0,存在f?X,||f||?1,使得 f(x0)?||x0||, 故||x0||?
例题2.4.2 设(X,||?||)是赋范空间,若对于任意x,y?X,||x||?1,||y||?1且x?y都有||x?y||?2,试证明对于任意??(0,1),有||?x?(1??)y||?1.
证明 反证法. 假设存在||x0||?||y0||?1和?0?(0,1),使得
||f||?1,f?Xsup|f(x0)|, 所以||x0||??sup||f||?1,f?X?|f(x0)|.
||?0x0?(1??0)y0||?1
由Hahn?Banach定理的推论,可知存在f?X, ||f||?1,使得
?f(?0x0?(1??0)y0)?||?0x0?(1??0)y0||
即
?0f(x0)?(1??0)f(y0)?1
这时一定有f(x0)?f(y0)?1. 否则的话,若f(x0)?1或f(y0)?1,则
?0f(x0)?(1??0)f(y0)??0?(1??0)?1,矛盾.
因此||x0?y0||?sup||f||?1,f?X?|f(x0?y0)|?f(x0?y0)?2,又由
||x0?y0||?|x0||?||y0||?2
可知||x0?y0||?2,但这与||x0?y0||?2的题设矛盾,因此由反证法原理可知对于任意
??(0,1),有||?x?(1??)y||?1.
62
2.5 严格凸空间
J.A.Clarkson在1936年引入了一致凸的Banach空间的概念,证明了取值一致凸的
Banach空间的向量测度Radon?Nikodym的定理成立,从而开创了从单位球的几何结构
来研究Banach空间性质的方法.J.A.Clarkson和M.Gkrein 独立地引进了严格凸空间,严格凸空间在最佳逼近和不动点理论上有着广泛的应用.
定义2.5.1 赋范空间X称为严格凸的,若对任意x,y?X,||x||?1,||y||?1,x?y,都有
||
x?y||?1 2严格凸的几何意义是指单位球面SX上任意两点x,y的中点内.
例2.5.1 Banach空间c0不是严格凸的. 取
x?y一定在开单位球UX?{x|||x||?1}2x0?(1,1,0,?),y0?(0,1,0,0,?)?c0,
则||x0||?||y0||?1,且对
类似地,易验证,Banach空间 c,l1,l?都不是严格凸空间.
例2.5.2 若x,y?l2,||x||?1,||y||?1且x?y,则
x0?y0x?y01?(,1,0,0,?),明显地有 ||0||?1. 222||x?y||?||x?y||?(?|xi?yi|)?(?|xi?yi|2)222i?1i?1???(?2|xi|2)?(?2|yi|2)?2||x||2?2||y||2?4i?1i?1??
从而
63
||x?y||2?4?||x?y||2?4,即||所以l2是严格凸的.
x?y||?1. 2 类似地,容易证明Banach空间lp(1?p??)是严格凸的.
定理2.5.3 若X是严格凸赋范空间,则对任意非零线性泛函f?X, f最多只能在SX上的一点达到它的范数||f||.
证明 反证法.假设存在x0?y0,||x0||?||y0||?1,使得
?f(x0)?f(y0)?||f||
由于
f(x0?y01)?[f(x0)?f(y0)]?||f|| 22因此
||f||?f(从而
x0?y0x?y0)?||f||||0|| 22||明显地,||x0?y0||?1 2x?y0x0?y0||x||?||y0||||?1,但这与X的严格凸假设矛盾,||?0?1.因此 ||0222所以由反证法原理可知定理成立.
设X是赋范空间,M是X的子空间,对f?X, f在X上可能有不同的保范延拓,不过,X的严格凸性能保证保范延拓的唯一性.
??A.Taylor在1939年证明了以下结果[A.Taylor,Theextensionoflinearfunction? als,DukeMath.J.5(1959),538?547.].
?定理 2.5.4 若X是严格凸,M是X的子空间,则对任意f?M,f在X上有唯一的
?保范延拓.
证明 反证法. 假设对f?M,f在X上有两个不同的保范延拓F1及F2,即对任意
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?x?M,都有f(x)?F1(x)?F2(x),且||F1||?||F2||,则
||(由于
F1F?2)/2||?1 ||f||||f||||F1?F2|F1?F2||F1(x)?F2(x)| ||?sup?sup222||x||?1,x?X||x||?1,x?M ?|f(x)?f(x)|?||f||
2||x||?1,x?Msup因此||(拓.
F1F?2)/2||?1,但这与X?是严格凸矛盾. 所以f在X上只有唯一的保范延||f||||f||思考题2.5.1 若对X的任意子空间M,任意的f?M,f在X上都只有唯一的保范延拓,则X是否一定为严格凸的？
严格凸性还保证了最佳逼近元的唯一性.
定义2.5.2 设X是赋范线性空间M?X,x?X,若存在y0?M,使得
??||x?y0||?inf||x?y||
y?M则称y0为M中对x的最佳逼近元.
定理2.5.5 设M为赋范线性空间X上的有限维子空间,则对任意x?X,存在y0?M,使得
||x?y0||?inf||x?y||
y?M 证明 令d?inf||x?y||,由下确界的定义,存在yn?M,使得
y?M||x?yn||?d
因而{yn}是有界序列,即存在C?0,使得||yn||?C,对任意n成立.事实上,若{yn}不是有界序列,则对任意k?N有ynk?{yn},使得||ynk||?k,故
||x?ynk||?||ynk||?||x||?k?||x||??(k??).
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但这与||x?ynk||?d矛盾,所以{yn}为有界序列.
由于M是有限维,且{yn}为M中有界序列,因此{yn}存在收敛子列ynk?y0,且
y0?M.故||x?y0||?lim||x?ynk||?d,所以存在y0?M.且||x?y0||?inf||x?y||.
k??y?M
问题2.5.1 上述定理中的最佳逼近元是否一定唯一？
例2.5.6 在R2中,取范数||x||?max{|x1|,|x2|},M?{(x1,0)|x1?R},则M为R2的一维子空间,取x0?(0,1)?R,对于任意x?(x1,0)?M,有
2||x0?x||?||(0,1)?(x1,0)||?max{||x1||,1}?1
故
d(x0,M)?inf{||x0?x|||x?M}?1
对于w0?(1,0),有||x0?w0||?1.因此d(x0,M)?inf{||x0?x|||x?M}?1. 但对于u?(0,0)及v?(?1,0),都有||x0?u||?||x0?v||?1,因此x0在M的最佳逼 元不唯一.
既然上述定理中的最佳逼近元不唯一,那么什么时候才能保证唯一呢？
定理2.5.7 设X是严格凸空间,M为X的有限维子空间,x?X,则在M中存在唯一的最佳逼近元,即存在y0?M,使得
||x?y0||?inf||x?y||
y?M证明 令d?inf||x?y||,假设存在y1,y2?M, 使得
y?M||x?y1||?d,|||x?y2||?d
则由
y1?y2y?y2?M,可知||x?1||?d. 22y?y2y1?y2x?y1x?y2||?d. ||?||||?||||?d,从而||x?12222由于||x?因此||x?y1x?y2x?y1x?y2||?1,||||?1 ,且||(?)/2||?1.但这与X的严格凸性dddd 66