矛盾,所以由反证法原理可知x在M中存在唯一的最佳逼近元.
最后,值得注意的是,严格凸性不是拓扑性质,它与范数的选取有关.
例2.5.8 在R中,如果取范数||x||?(|x1|?|x2|),则(R,||?||)是严格凸的,但对于另一个范数||x||1?|x1|?|x2|, (R,||?||1)不是严格凸的,并且范数||?||1和||?||等价.
2222122V.Istratescu还将严格凸性推广到复严格凸性,复严格凸性在取值于复Banach空间的
解析函数理论中有着重要应用[V.Istratescu,I.Istratescu,Oncomplexstrictlyconvex
spaces.I.J.Math.Anal.Appl.70(1979),no.2,423?429.]
习题二
nnn2.1 在R,对任意x?{x1,?,xn}?R,定义上R的几个实值函数,使得它们都是R范数.
n2.2 设X为赋范线性空间,||?||为X上的范数,定义
?0,当 x ? y 时；d(x,y)??
?||x?y||?1，当 x ? y 时.试证明(X,d)为度量空间,且不存在X上的范数||?||1,使得d(x,y)?||x?y||1.
p1/p2.3在C[0,1]中,定义||x||p?(?1(1?p??),试证明||?||是C[0,1]的范数. 0|x(t)|dt)2.4设M是赋范空间X的线性子空间,若M是X的开集,证明X?M. 2.5试证明c0是l?的闭线性子空间.
2.6设X是赋范线性空间,若?n,??K,xn,x?X,?n??且xn?x,试证明?nxn??x. 2.7设X是赋范线性空间,若xn?x,yn?y,试证明xn?yn?x?y. 2.8 试证明en为lp(1?p??)的Schauder基.
2.9 设e0?(1,1,???,1)，试证明{e0,e1,e2,??,en,???}为c的Schauder基.
2.10 在l?中,若M是l?中只有有限个坐标不为零的数列全体,试证明M是l?的线性子空间,但M不是闭的.
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2.11 设||?||1和||?||2为线性空间X上的两个等价范数,试证明(X,||?||1)可分当且仅当
(X,||?||2)可分.
2.12 设f:R?R,满足f(x?y)?f(x)?f(y)对任意x,y?X成立，若f在R上连续,试证明f是线性的.
2.13设f和g为线性空间X上的两个非零的线性泛函,试证明它们有相同的零空间当且仅当存在k,使得f?kg.
2.14设X是有限维Banach空间,{xi}i?1为X的Schauder基,试证明存在fi?X,使得
n?fi(xi)?1,且fi(xj)?0,对i?j成立.
2.15设f为赋范线性空间X上的非零的线性泛函,试证明M?{x?X|的非空闭凸集.
2.16设X是赋范空间,M为X的闭线性子空间,x0?X\\M,试证明存在f?X,使得
?f(x)?1}是Xf(x0)?1,||f||?1,且f(x)?0,对所有x?M成立.
d(x0,M)nii?1为
2.17设X是有限维空间,{x}X的Schauder基,对任意x?X,x???ixi, 定义泛函
i?1nfi(x)??i,试证明fi?X?.
2.18设X是严格凸空间,试证明对任意,x,y?X,x?0,y?0且||x?y||?||x||?||y||时,有
??0 使得y??x.
2.19试在l1构造一个新范数||?||1,使得(l1,||?||1)是严格凸空间. 2.20试证明l1和l?都不是严格凸的赋范线性空间.
?2.21设X是严格凸的,试证明对于任意x?X,||x||?1,有且仅有唯一的fx?X,||fx||?1,
?使得fx(x)?1.
2.22举例说明在赋范线性空间中,绝对收敛的级数不一定是收敛级数. 2.23设F?X,试证明对任意x?X,x都可以写成一个收敛级数
?x的和,且每一项x都
ii?i?1 68
属于F.
2.24 设是X赋范线性空间,xn,x?X,xn?x,试证明对任意f?X?,有
f(xnx)?f(). ||xn||||x||2.25 试证明赋范线性空间X是完备的当且仅当度量空间(S,d)是完备的,这里单位球面
S?{x?X|||x||?1},度量d(x,y)?||x?y||.
2.26在C[0,1]中,M?{x(t)|x(a)?x(b),x?C[a,b]},试证明M是C[0,1]的完备线性子空间. 2.27在C[0,1]中,试证明A?{x(t)||x(t)|?1}?C[0,1]是C[0,1]的有界闭集,但不是等度连续的.
2.28 在R2中,取范数||x||?|x1|?|x2|，M?{(x1,0)|x1?R},则M为R2的线性子空间,对x0?(0,1)?R,试求出y0?M,使得||x0?y0||?d(x0,M).
2
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巴拿赫
S.Banach1892年3月30日生于波兰的一个叫Ostrowsko
的小村庄,出身贫寒.S.Banach1916年结识H.Steinhaus后,H.Steinhaus告诉S.Banach一个研究很久尚未解决的问题.几天后,S.Banach找到了答案,S.Banach就和Kraków科学院会报H.Steinh一起写了论文，联名发表在a上. Stefan Banach (1892-1945)
1920年, Lomnicki教授破格将S.Banach安排到Lvov技术学院当他的助教.同年,Banach提交了他的博士论文“关于抽象集合上的运算及其在积分方程上的应用”(Sur les opérations dans les ensembles abstraits etleur applicationaux équtions intégrales),并取得博士学位.该论文发表在1923年的《数学基础》(FundamentaMathematicae)第3卷上,大家都将它看为泛函分析学科形成的标志之一.1922年,S.Banach通过讲师资格考核,1924年任该大学教
a. 授.1929年，S.Banach和H.Steinhaus创办了泛函分析的刊物StudiaMathematic1932 年,S.Banach出版了《线性算子理论》Théorie des óperations linéaires,这本书汇集了S.Banach的研究成果,对推动泛函分析的发展起了重要作用. 1936年,在Oslo召开的国际数学家大会邀请S.Banach在全体大会上作报告.在波兰国内,Banach被授予多种科学奖金,1939年被选任波兰数学S.Banach会主席.
S.Banach的主要工作是引进线性赋范空间概念,证明了很多赋范空间基本定理,很多重
要的定理现在都以他的名字命名,他证明的三个基本定理(Hahn?Banach线性泛函延拓定理,Banach?Steinhaus定理和闭图像定理)概括了许多经典的分析结果,在理论上和应用上都有重要的价值.现在大家都把完备的线性赋范空间称为Banach空间.此外,在实变函数论方面,他在1929年同A.Tarski合作解决了一般测度问题.在集合论方面,他于1924年同
A.Tarski合作提出了Banach?Tarski悖论.
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