【教学重点】
掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式； 【教学难点】
利用不等式的性质证明简单的不等式。 【教学过程】
1.课题导入 在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。
请同学们回忆初中不等式的的基本性质。
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变； 即若a?b?a?c?b?c
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变； 即若a?b,c?0?ac?bc
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。 即若a?b,c?0?ac?bc
2.讲授新课 1、不等式的基本性质：
师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？ 证明：
1）∵(a＋c)－(b＋c)
＝a－b＞0， ∴a＋c＞b＋c
2）?(a?c)?(b?c)?a?b?0， ∴a?c?b?c．
实际上，我们还有a?b,b?c?a?c，（证明：∵a＞b，b＞c，
∴a－b＞0，b－c＞0．
根据两个正数的和仍是正数，得
(a－b)＋(b－c)＞0， 即a－c＞0， ∴a＞c．
于是，我们就得到了不等式的基本性质： （1）a?b,b?c?a?c （2）a?b?a?c?b?c （3）a?b,c?0?ac?bc （4）a?b,c?0?ac?bc 2、探索研究
思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：
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（1）a?b,c?d?a?c?b?d； （2）a?b?0,c?d?0?ac?bd； （3）a?b?0,n?N,n?1?an?bn;na?证明： 1）∵a＞b，
∴
∵c＞d， ∴
a
＋
c
＞
b
＋
nb。
c． ①
b
＋
c
＞
b
＋
d． ②
由①、②得 a＋c＞b＋d． 2）
a?b,c?0?ac?bc???ac?bd
c?d,b?0?bc?bd?n3）反证法）假设na?nb，
则：若
na?a?nnnb?a?bb?a?b这都与a?b矛盾，
∴
na?b．
[范例讲解]：
例1、已知a?b?0,c?0,求证
ca?cb。
1?0。 1ab证明：以为a?b?0，所以ab>0,于是 a?由c<0 ，得
ca?cb1abab?b?，即
1b?1a
3.随堂练习1 1、课本P82的练习3
2、在以下各题的横线处适当的不等号： (1)（3＋2）2 ６＋26；
22
（2）（3－2） （6－1）；
（3）15?2 16?5；
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(4)当a＞b＞0时，log1a log1b
22答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜
[补充例题]
例2、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。
解：由题意可知：
（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4） ＝（a－2a－1５）－（a－2a－８） ＝－７＜0
∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4） 随堂练习2 1、 比较大小：
（1）（x＋５）（x＋７）与（x＋６）2 （2）x?5x?6与2x?5x?9
2222
4.课时小结 本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式； 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论； 第三步：得出结论
5.评价设计 课本P83习题3.1[A组]第2、3题；[B组]第1题
课题: §3.2一元二次不等式及其解法
第1课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；
3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。 【教学重点】
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。 【教学难点】
理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
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【教学过程】
1.课题导入 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型： 教材P84互联网的收费问题
教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：
x?5x?0…………………………(1)
22.讲授新课 1）一元二次不等式的定义
象x2?5x?0这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
2）探究一元二次不等式x2?5x?0的解集
怎样求不等式（1）的解集呢？ 探究：
（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：二次方程的有两个实数根：x1?0,x2?5
二次函数有两个零点：x1?0,x2?5
于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。 （2）观察图象，获得解集
画出二次函数y?x2?5x的图象，如图，观察函数图象，可知： 当 x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即x2?5x?0； 当0 2所以，不等式x?5x?0的解集是?x|0?x?5?，从而解决了本节开始时提出的问题。 23）探究一般的一元二次不等式的解法 任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式： ax?bx?c?0,(a?0)或ax?bx?c?0,(a?0) 22 一般地，怎样确定一元二次不等式ax?bx?c>0与ax?bx?c<0的解集呢？ 组织讨论： 从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点： (1)抛物线y?ax?bx?c与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程ax?bx?c=0的根的情况 (2)抛物线y?ax?bx?c的开口方向，也就是a的符号 第 29 页 共 58 页 22222 总结讨论结果： （l）抛物线 y?ax2?bx?c（a> 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 ax2?bx?c=0的判别式??b2?4ac三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分二种情况讨论 （2）a<0可以转化为a>0 分Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式ax2?bx?c>0与ax2?bx?c<0的解集 一元二次不等式ax2?bx?c?0或ax2?bx?c?0?a?0?的解集： 设相应的一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的两根为x1、x2且x1?x2，??b2?4ac，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格) 二次函数 y?ax2 ??0 y?ax2 ??0 ?bx?c y?ax2 ??0 y?ax2?bx?c ?bx?c ?bx?c （a?0）的图象 一元二次方程 ax2 有两相异实根 x1,x2(x1?x2) 有两相等实根 x1?x2??b2a ?bx?c?0?a?0?的根2 无实根 R ? ax?bx?c?0(a?0)的解集ax?bx?c?0(a?0)的解集2 ?xx?x或x?x? 12?b??xx??? 2a?? ?xx1?x?x2? ? [范例讲解] 例2 (课本第87页)求不等式4x?4x?1?0的解集. 解：因为??0,方程4x?4x?1?0的解是x1?x2?2212. 第 30 页 共 58 页