908070生物量变化delta pn6050403020100020406080100生物量pn120140160180
图1-4 酵母培养物增长对以小时计的时间
虽然该数据的图形并不恰好位于过原点的一条直线上,但是可以用一条过原点的直线来近似.我们估算出该直线的斜率大约为0.5.利用直线斜率的估计
k?0.5,我们假设比例模型为
?pn?pn?1?pn?0.5pn
它给出预测pn?1?1.5pn.这个模型预测种群量总是增长的,这是可疑的.
模型的改进:对出生、死亡和资源的建模
如果在一个周期里出生和死亡都和种群量成正比，那么例1所说明的那样种群量的变化应该和种群量成正比。但是，某些资源（例如食物）只能支持某个最大限度的种群量而不能支持无限增长的种群量。当接近这个最大限度时，增长就会慢下来。
例2 再论酵母培养物的增长
表1-4 酵母培养物随时间变化的数据
时间n 酵母生物量pn ?pn?pn?1?pn 0 9.6 8.7 8 1 18.3 10.7 9 2 29.0 18.2 10 513.3 46.4 18 661.8 3 47.2 23.9 11 4 71.1 48.0 12 5 119.1 55.5 13 629.4 11.4 6 174.6 82.7 14 640.8 10.3 7 257.3 93.4 15 651.1 4.8 时间n 酵母生物量pn ?pn?pn?1?pn 350.7 441.0 90.3 16 72.3 17 559.7 594.8 35.1 34.6 时间n 酵母生物量pn ?pn?pn?1?pn 655.9 659.6 3.7 2.2
图1-5酵母生物量趋近一个极限种群量水平
从上面的数据表可以看出当资源变得更为有限或受到更多限制时，每小时种群量的变化就变得比较小。从种群量对时间的图形看，种群量趋于一个极限值或容纳量，我们根据图形估计容纳量为665（实际上，图形并不能确切地告诉我们容纳量是665而不是664或666）。然而pn趋近665时，变化确实大大减慢了。因为
当pn趋近665时，665?pn变得更小了，我们尝试以下模型
?pn?pn?1?pn?k(665?pn)pn
这造成了当pn趋近665时，变化?pn变得越来越小。数学上，这个假设的模型说明变化?pn和乘积(665?pn)pn成比例。为测试模型，画出?pn?pn?1?pn对(665?pn)pn的图形，看看是否存在合理的比例性，然后来估算比例系数k。
10090807060delta pn504030201000246pn(665-pn)81012x 104
图1-6测试受限制的增长模型
考察图1-6,我们看到?pn?pn?1?pn对(665?pn)pn的图形确实合理地近似于过原点的一条直线.我们估计该直线的斜率约为k?0.00082,这样我们就给出如下的动力系统模型:
?pn?pn?1?pn?0.00082(665?pn)pnp0?9.6
上面的模型也可以写成
pn?1?pn?0.00082(665?pn)pnp0?9.6
该模型右边关于pn是二次的，这种动力系统是非线性的。而且一般不能求得解析解。即通常不能直接求出用n来表示pn的公式解。但是，给定初值
p0?9.6，我们可以依次代入该模型得出数值解（一张数据表）。
模型的检验
将模型预测的数值解与观察值在画在同一幅图形中比较，可以看出我们的模型很好地抓住了所观察到的数据的趋势。
700 600500酵母生物量400观察值预测值3002001000 0246810以小时计的时间12141618
图1-7模型的检验
例3 接触性传染病的传播
假定学院宿舍里有400个学生而且一个或更多个学生得了严重的流感。令in表示n个时间周期后（例如n天后）受感染的学生数。假设在已经感染的学生和尚未感染的学生之间存在某种相互作用使疾病得以传播,如果所有人对于该传染病都是易感的,那么400?in就表示易感而尚未感染的学生.如果已经感染的学生在继续传播疾病,那么我们可以认为变化的已感染者数量(新增的感染者)?in?in?1?in和已感染者与尚未感染者的乘积成比例:
?in?in?1?in?kin(400?in)
这里我们虽然没有数据,但从酵母生物量的例子中可以想到,感染者的数量曲线也是S形的.
这个模型可以有许多改进.例如,我们可以假设一部分人不易被感染、或者感染周期是有限制的、或者为防止和未感染者的相互作用，已感染的学生都搬出了宿舍。更复杂的模型甚至能分别处理已感染人口和易感染人口。
例4 血流中地高辛的衰减 地高辛用于治疗心脏病，医生开的处方上的剂量应能保持血流中地高辛的浓度高于一个有效水平值而又不能超过一个安全水平值（对不同的病人，这些值会有所不同）。对于血流中初始剂量为0.5毫克的情形,表1-5展示了该病人n天后其血流中地高辛的剩余量an,以及每天的变化量?an.
表1-5 病人血流中地高辛的变化an
n an ?an 0 0.5 1 0.345 2 0.238 3 0.164 4 0.113 5 0.078 6 0.054 7 0.037 8 0.026 -0.155 -0.107 -0.074 -0.051 -0.035 -0.024 -0.017 -0.011 图1-8是根据上表数据画出的?an对an的散点图.图形展示了在一个时间段里的变化?an和该时间段开始时血流中地高辛的含量an大致成比例.过原点的比例直线的斜率k??0.107/0.345??0.310,所以我们有?an??0.310an.从而得到下面的动力系统模型:
?an?an?1?an??0.31anan?1?0.69ana0?0.5
图1-8 ?an对an的图形表明其为过原点的直线
习题2
1. 从引进到塔斯马尼亚岛的新环境里的羊群数量的增长得到下面的数据。
年 1814 1824 1834 1844 1854 1864 275 830 1200 1750 1650 数量 125
根据数据画出图形.能看出某种趋势么?画出1814年后数量变化对年份 的图形.构建一个能合理描述你所观察到的变化的离散动力系统.