2. 下列数据表示从1790年到2000年的美国人口数据 年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 人口 3 929 000 5 308 000 7 240 000 9 638 000 12 866 000 17 069 000 23 192 000 31 443 000 38 558 000 50 156 000 62 948 000 年份 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 人口 75 995 000 91 972 000 105 711 000 122 755 000 131 669 000 150 697 000 179 323 000 203 212 000 226 505 000 248 710 000 281 416 000 求能够相当好地拟合该数据的动力系统模型。通过画出模型的预测值和 数据值来测试你的模型。
3. 社会学家识别出一种称为社会扩散的现象，即在人群中传播一段信息、 一项技术革新或者一种文化时尚。人群可以分为两类：知道该信息的人 和不知道该信息的人。在人群数目已知的情形下，可以合理地假设扩散 率与知道该信息的人数和不知道该信息的人数的乘积成比例。然后记an 为总数为N的人群在n天后已经知道该信息的人数，构建一个能近似表 示人群中已经知道该信息的人数变化的动力系统。
4. 虑在人口总数为N的孤岛上一种传染性很强的疾病的传播问题。一部 分岛上的人到岛外旅行并患上这种疾病回到岛内。构建一个能近似表示 患病人数变化的动力系统。
5. 假设我们考虑鲸鱼的生存问题，如果鲸鱼数目降至低于最小生存水平m 的话，那么该物种将会灭绝。还假设由于环境的容纳量M，鲸鱼的数量 是受到限制的。即，如果鲸鱼的数量高于M，因为环境无法支持，数量 将会下降。在下面的模型中，an表示n年后的鲸鱼数量；试讨论模型
?an?an?1?an?k(M?an)(an?m)
6. 假设存在某种药物,当其浓度大于100毫克/升时,可以治疗疾病,药物的
初始浓度为640毫克/升.从实验知道该药物以每小时现有量的20%的比 率衰减.
(a)构造一个表示每小时浓度的模型.
(b)建立一张浓度值表并确定何时浓度达到100毫克.
7. 利用习题6研制的模型开一个初始剂量处方,以及一个能把浓度保持在 高出有效水平500ppm(即百万分之500或万分之五)但低于安全水平 1000ppm的维持剂量处方.用不同的值来做实验,直到结果满意为止. 8. 附表的数据展示了一辆汽车的速率n(以5英里/小时的增量计)以及从刹
车到停止的(滑行)距离an,例如,n?6(表示6×5=30英里/小时)时所需
的停止距离为a6?47ft.
(a)计算并画出变化?an对n的图形,该图形能合理地近似表示一种线性 关系么?
(b)根据你在(a)中的计算,对停止距离数据求一个差分方程模型,通过画 出与n相对应的预测值的误差来测试你的模型,讨论模型的正确性.
n an n an 1 2 3 4 5 6 7 8 3 6 11 21 32 47 65 87 9 10 11 12 13 14 15 16 112 140 171 204 241 282 325 376
1.3 动力系统的解法
例1 再论储蓄存单
在储蓄存单例子中,储蓄存单一开始存有1000美元,每月按结存的1%付给利息.如果既不存款也不取款,那么就确定了以下动力系统.
an?1?1.01ana0?1000
容易看出该动力系统的解为an?(1.01)n1000,n?0,1,2,?
Th1 对r为非零常数的线性动力系统an?1?ran,它的解为
ak?ra0,k?0,1,2,?
k例2 污水处理
一家污水处理厂通过去掉污水中所有的污染物来处理未经处理的污水,以生产有用的肥料和清洁的水.该处理过程每小时去掉处理池中剩余的污物的12%.1天后处理池中将留下百分之几的污物?要多长时间才能把污物的量减少一半?要把污物减少为原来的10%,要多长时间？
an?1?ra0n，r为常数时的长期行为
(1)r?0的情形;(2)r?1的情形
(3)r?1的情形:此时序列?ak?rka0?是无界的（例如储蓄存单例子）
(4)r?0的情形：此时序列?ak?rka0?是振荡的（即相邻两项相差一个符号） 例如：ak?(?1.01)k1000的图形
(5) r?1的情形：
①如果0?r?1，那么limak?limrka0?0，地高辛的例子提供了一个例证。
k??k??
k ②如果?1?r?0，那么limak?limra0?0，但此时序列?ak?rka0?将变
k??k??号地趋于0。例如线性动力系统an?1?(?0.5)nan,a0?0.6
(6) r??1的情形
an?1?ran?b的动力系统，其中r和b均为常数
定义：当a0?a时，如果对所有的k?1,2,3,?有ak?a，则将数a称为动力系统an?1?f(an)的平衡点或不动点。即ak?a是该动力系统的常数解。
推论：a是an?1?f(an)的平衡点的充要条件是当a0?a时，a?f(a)。 例3 地高辛处方
再次考虑地高辛问题。如何考虑地高辛在血流中的衰减问题，以开出能使地高辛浓度保持在可接受（安全而且有效）的水平上的剂量处方呢？
假定开了每日0.1毫克的地高辛剂量处方，而且知道在每个剂量周期末还剩余一半地高辛。这就导致了下面的动力系统
an?1?0.5an?0.1
现在考虑三个初始剂量
A：a0?0.1；B：a0?0.2；C：a0?0.3；
表1-6以及图1-9给出了三种初始剂量下的数值解
表1-6 三种地高辛初始剂量的数值解
n 0 1 2 3 A an B an C an 0.1 0.15 0.175 0.1875 0.2 0.2 0.2 0.2 0.3 0.25 0.225 0.2125 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0.19375 0.196875 0.1984375 0.19921875 0.199609375 0.1998046875 0.19990234375 0.199951171875 0.1999755859375 0.19998779296875 0.199993896484375 0.199996948242188 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.20625 0.203125 0.2015625 0.20078125 0.200390625 0.2001953125 0.20009765625 0.200048828125 0.2000244140625 0.20001220703125 0.200006103515625 0.200003051757813
图1-9三种地高辛初始剂量的数值解
注意到0.2是一个平衡点，因为一旦达到了这个值，系统永远停在0.2处。此外，如果从低于平衡点或高于平衡点的初值开始，那么显然会趋于平衡点作为其极限。
例4 投资年金
讨论活期存款账户问题并考虑年金（养老金）问题。年金常常是为退休目的而规划的。年金基本上是活期存款账户，对现有的存款付给利息而且允许每月有固定数额的提款，直到提尽为止。一个有趣的问题是确定每月必须存入的存款数以建立一笔允许提款的年金，使得在账户中的存款用尽之前，能在计划的年数期间从某个年龄开始每月提取规定的款项。
现在考虑月利率为1%以及月提款额为1000美元的情形。可以建立如下动力系统模型：