混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。 蝴蝶效应是气象学家洛伦兹1963年提出来的。其大意为：一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯引起一场龙卷风。其原因在于：蝴蝶翅膀的运动，导致其身边的空气系统发生变化，并引起微弱气流的产生，而微弱气流的产生又会引起它四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起连锁反应，最终导致其他系统的极大变化。此效应说明，事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性，初始条件的极小偏差，将会引起结果的极大差异。蝴蝶效应是混沌学理论中的一个概念。它是指对初始条件敏感性的一种依赖现象。输入端微小的差别会迅速放大到输出端。
习题3
1.建立下列初值问题的数值解.画出数据的图形以观察解的模式.存在平衡点吗?平衡点是稳定的还是不稳定的? (a) an?1??1.2an?50(b) an?1?0.8an?100(c) an?1?0.8an?100(d) an?1??0.8an?100(e) an?1?an?100(f) an?1??3an?4a0?1000a0?500;
; ; ;
a0??500a0?1000a0?1000a0?5.
;
2.你目前有一个月付利息0.5%的活期储蓄账户，其中存款5000美元。你每月加进200美元。建立一个模型并求数值解以确定何时账户中的存款能达到20 000美元。
3.你在一张信用卡上欠款500美元，每月要收取1.5%的利息。你可以每月付给50美元而不再对你有新的利息收费。什么是平衡点？有什么意义？求数值解，以确定什么时候能够还清欠款？最后付费为多少？ 4.求解习题1中的3、4两题的平衡点。
研究课题
1.你计划拿出一部分薪水作为子女的教育经费。你希望在账户里有足够的存款，使得从现在起20年后开始的8年里，每月能提出1000美元。账户每月付给你0.5%的利息。
(a)为完成你的目标，从现在起20年里你总共需要积累多少钱？ (b)在以后的20年里你每月必须存入多少钱?
2.假设我们正在考虑鲸鱼的生存问题，又假设如果鲸鱼数目降至低于最小生存水平m的话，那么该物种将会灭绝。还假设由于环境的容纳量M，鲸鱼的数量 是受到限制的。即，如果鲸鱼的数量高于M，因为环境无法支持，数量将会下降。在下面的模型中，an表示n年后的鲸鱼数量。对M?5000,m?100,k?0.0001以及a0?4000求数值解
?an?an?1?an?k(M?an)(an?m)
再对不同的M，m，k做实验。试着对若干个a0的起始值做实验。你的模型有什么预测？
1.4 差分方程组
例1 汽车租赁公司
一家汽车租赁公司在奥兰多和坦帕都有分公司,这家公司是专门为满足在这两个城市开展旅游活动的旅行社的需要而开设的.因此,游客可以在一个城市租车而在另一个城市还车.游客可能在两个城市都有旅行计划.该公司想确定对这种方便的借还车方式的收费应该是多少.因为汽车可以在两个城市归还,每个城市就要有足够的车辆以满足用车需要.如果置放的车辆不够了,那么要从奥兰多运送多少车辆到坦帕或者要从坦帕运送多少车辆到奥兰多呢?对这些问题的回答 将有助于该公司计算出它的期望成本.
在分析了历史数据后,可以确定约有60%在奥兰多出租的车辆还到了奥兰多,另外40%的车辆还到了坦帕.在坦帕分公司出租的车中,有70%仍旧还到了坦帕,另外30%的车辆还到了奥兰多.下图是对这种情况的总结.
动力系统模型
我们来研究该系统的一个模型.令n表示营业天数.定义
On:第n天营业结束时在奥兰多的车辆数
Tn:第n天营业结束时在坦帕的车辆数 因此历史记录显示该系统应该是
On?1?0.6On?0.3TnTn?1?On?1??0.6?????????0.4On?0.7Tn?Tn?1??0.40.3??On??? ???0.7??Tn??平衡点
该系统的平衡点就是使系统不再发生变化的On和Tn的值.如果它们存在的话,分别称之为平衡点O和T.同时有O?On?1?On和T?Tn?1?Tn.代入到我们的模型中,可以得出O和T应该满足的方程组:
O?0.6O?0.3TT?0.4O?0.7T
容易看出O?0.75T满足这个方程组.
例如,假设公司有7000辆车而且开始时在奥兰多有3000辆车而在坦帕有4000辆车,那么我们的模型预测
O1?0.6(3000)?0.3(4000)?3000T1?0.4(3000)?0.7(4000)?4000
因此该系统如果在(O,T)?(3000,4000)处开始,将保持不变.
下面我们研究如果从不同于平衡点的值开始,系统将会怎样.我们取下面四种不同初始值的情形
下图给出了四种情形下,系统的数值解.
情形1 (O0,T0)?(7000,0)
n 奥兰多 坦帕 0 7000 0 1 4200 2800 2 3360 3640 3 3108 3892 4 5 6 7 3032.4 3009.72 3002.916 3000.875 3967.6 3990.28 3997.084 3999.125
情形2(O0,T0)?(5000,2000)
n 奥兰多 坦帕 0 5000 2000 1 3600 3400 2 3180 3820 3 3054 3946 4 5 6 7 3016.2 3004.86 3001.458 3000.437 3983.8 3995.14 3998.542 3999.563
情形3(O0,T0)?(2000,5000)
n 奥兰多 坦帕 0 2000 5000 1 2700 4300 2 2910 4090 3 2973 4027 4 5 6 7 2991.9 2997.57 2999.271 2999.781 4008.1 4002.43 4000.729 4000.219
情形4(O0,T0)?(0,7000)
n 奥兰多 坦帕 0 0 7000 1 2100 4900 2 2730 4270 3 2919 4081 4 5 6 7 2975.7 2992.71 2997.813 2999.344 4024.3 4007.29 4002.187 4000.656