旋转导体的磁偶极矩为
m??dm??0??UR3?sin3?d??00??所以
4??0?UR33
6、
解：（1）因为半无限长载流螺线管内部磁感应强度和端部磁感应强度分别为
??4m??R3?0?U?3
B内??0nI ，?端?B端?S?B端?1?0nI2
FRr0?B所以，端面上的磁通量为
r1Gr0abr111B内?S??内22
H图6-1 图6-2
（2）在r0处以r0为半径作圆平面，在端部以r1为半径作圆平面，曲线ab为磁感线，以该磁感线为母线作曲面，与两圆平面构成闭合曲面，如图6-2所示。根据高斯定理有
???B?dS??B?dS?B?dS?B?dScos?0?S?sr0内?sr1端?侧2B内22B内??r0?B端??r1???r122
所以
r1?2r0
（3）在端以半径R作圆平面，则通过该平面的通量为
圆平面，有一半磁感线没有穿过圆平面，又由于磁感线是连续的，必有另一半磁感线在端部垂直于轴线，否则7、
证明：在没有电流的空间区域里，作一圆柱形高斯面如图7-1所示，由磁场的高斯定理得 ???B?dS??B1?S?B2?S?0B4S
????B1B2??由B1?B2，沿B线方向B的大小不变 LBB在该磁场中作一矩环路如图7-2， 12由安培环路定理得 图7-1 图?7-2 B3???端?1?内2，所以有一半磁感线穿过
?端?1?内2将不成立。
?????B?B4，而沿B线垂直方向B的大小也不变所以，在没有电流的空间区域里磁场是均故3匀的 8、
证明：假定没有边缘效应，作一长方形环路L，使其长为l的两对边平行于磁场强度B，且一边在磁场内，另一边在磁场外。 所以 N??① 而根据环路定理又有
?B?dlL?B3?l?B4?l?0
???B?dl?BlS??②
①式不满足②式，违反环路定理，故必有边缘效应。 9、
证明：半圆筒状的金属片中的电流密度为
???B?dl?I?0i?建立直角坐标系如图9-2所示，在半圆柱面上取宽度为Rd?的无限长载流直导线，其上的电流为
IIs dI?iRd??d??R?
dI?所以
IIRd??d??R?
RIdB??0I?d?A2?R?r?2Rrcos??
将dB进行分解到x轴上有
?22?12 图9-1
y
dBx?由正弦定理得
?0I?d?12cos???①
12?dByRd?R?dB2?[R2?r2?2Rrcos?]22???dBx?xR[R?r?2Rrcos?]?sin(???)sin?Rsin?sin??122[R?r?2Rrcos?]2 图9-2
R2sin2?cos??1?sin??1?2?R?r2?2Rrcos?2Rcos??r?R2?r?2Rrcos?2?12??②
②式代入①式得
dBx? ??0I(Rcos??r)d?2?2[R2?r2?2Rrcos?]Rcos?d?rd????2222??R?r?2Rrcos?R?r?2Rrcos?????d??0I??R2?r2rd?? ??2??1?22?22??2???2rR?r?2Rrcos?R?r?2Rrcos?????0I2?2?I ??022??d??R2?r2d?rd?????2222?2r2rR?r?2Rrcos?R?r?2Rrcos??
??????1??R2?r2?d?d?d???r??0?0R2?r2?2Rrcos??2r?0R2?r2?2Rrcos??2r???0I??R2?r2r ????????2?2?2r2R2?r2R2?r2??IBx??022????0I?R2?r2?R2?r2?2r2? ??????02?2?2?R2?r2?r??Bx?0说明A点的磁感应强度B没有x轴分量，故只有y轴分量，平行该平面
解：设两平行直导线中的电流分别为I1和I2，导线间是距离为a。建立直角坐标，如图所示，在两导线上分别任取一电流元I1dl1和I2dl2，它们之间是距离为r21。I1dl1到原点的距离为
z1，I2dl2到z轴上的距离为z2。电流元I1dl1对电流元I2dl2的作用力为
?0I1I2sin?1sin?2dl1dl2dF? 2124?r21其中
a sin??12212 ??a?(z?z)21??
sin?2?1 222r?a?(z?z)21 21所以
ZI1aI1??I1dl110Z1?I2dl2Z2
dF21??0aI1I2dz1dz24??a2?(z?z)2?3221??y电流I1的载流导线作用于电流元I2dl2的力为
F? 21??0aI1I2dz2???4?dz1?a2??z2?z1????232??0I1I2dz22?a载流导线1作用于载流导线2的单位长度上的力f为
F?II01221 f?dz?2?a2
f??负号表示当电流I1与I2同向时，f是吸引力，当电流I1与I2反向时，f是排斥力。 2、
解：设无限长直导线中的电流为I，考察点离导线的距离为R，在导线上任取一电流元Idl，它离考察点的距离为r，如图所示，电流元在考察点处产生的磁场垂直于纸面向里，其大小为
?0I1I2?j2?a ?r?0Idl?edB? 4?r2
l?Rtg?R?rcos?dl?2Rd?cos2?R2cos2?Idl?rlr??R?dB由图可知
dB??0Idlsin?4?r2
代入上式并进行积分得
?0I?B?cos?d? 4?R??I2分别为从考察点到导线两端的联线与R的夹角。 ??0?其中?1和(sin?2?sin?1)4?R?? 当导线无限长(?1??,?2?)时2 ?0I2B?
2?R3、
21解：一半径为R的导线圆环，流过的稳恒电流为I，考察过圆心垂直于圆环平面的轴线上任一点的磁场。设考察点到圆面的距离为z，如图所示。元电流上任一电流元Idl到考察点的径矢为r，它到考察点的磁场为
?r ?0Idl?edB? 4?r2
?0IdldB?dBz和垂直z轴的分量dB?，由对称性可知，dB?叠加结果为2把dB分解成沿着z轴的分量4?r零，于是
dB?dBsin???0Idlsin?z24?r
?0IdlR
B??dBZ? 4??r2rdBz?dB?dB?z?r ?0IR2R? ?32r Idl?0I20B? 当z??IR02R? 3222(R?z)2 ?IR20 当z??RB?2z34、
解：设有一密绕的螺线管，单位长度上的匝数为n，考察螺线管轴线上的一点P，在距P点
l处取一宽度为dl的圆电流，其匝数为ndl，如图4-1所示。该圆电流在P点的磁场为
?0R2nIdl dB?2(R2?l2)32
式中R是螺线管的半径。整个螺线管的电流在P点的磁场为 由图可知
R222 R?l?sin2?
?l?Rctg? B?
???ndl?
P代入上式并积分得 R 图4-1 R?1??2???z+++dl??022nI?sin?d??1?2sin2?d?+++dll??0nI(cos?1?cos?2)
① 对无限长螺线管轴线上磁场强度为一个恒量，即
?1?0?2??B??0nI
② 对半无限长螺线管端点磁场强度为 ?1??0??B??0nI 1222③ 螺线管轴线上磁场分布如图4-2所示
图4-2
5、 解：设导体板的宽度为2a，通过宽为单位长度的狭条的电流为i。取oyz平面与导体板重合，x轴与板垂直，如图5-1所示。在板上任取一宽度为dy，位于y到y?dy之间内的狭条。这狭条可作为无限长的直导线处理，其中电流的线密度为P的磁场为
i?I2a，电流为idy，它在考察点
其方向与R垂直。把dB分解成沿x和y方向的两个分量，由于对称性，与z轴对称的任意两狭条在P点的磁场dB和dB的x分量相互抵消，如图5-2所示。因此。P点的磁感强度由各狭条在P点产生的磁场的y分量叠加而成，即
'?0idydB?2?R
?0idycos? dBy?dBcos??2?R
z
?icos? 0 dy ?aB?By??dBy ??由图知 R cos ? ? x 2 ? y R ? ，因此 dy?xd?? xtgcos2?代入上式得
?0i?0 B?d? ??02?因
dyyOa?yRPdBxxi图5-1 ???0i?0?y?dB'dBa
所以 x 图5-2 ?0?tg?1???x
B??0itg?1a?x若薄板是无限宽的，即a??， 1B??0i 26、
???2，则有
解：在半径为r，宽度为dr的圆形环带上（如图）所形成的等效电流为
dI??dq2??rdr??????rdr2?2?