第一部分《画法几何》复习大纲
一．投影的基本知识
1．投影法的分类
投影法可分为中心投影法和平行投影法两类。
（1）中心投影法：投射中心距投影面为有限远，即投射线从投射中心发出的投影法，称中心投影法 （2）平行投影法：投射中心距投影面为无限远，即投射线相互平行时的投影法，称平行投影法。
平行投影法又分为斜投影法和正投影法两种。投射线与投影面倾斜，称为斜投影法；投射线与投影面垂直，称为正投影法。 2．土木工程常用的几种投影图
土木工程常用的投影图有多面正投影图、轴测投影图、标高投影图及透视投影图。 1）多面正投影图
多面正投影图由物体在两个或两个以上相互垂直的投影面上的正投影所组成。这种图的特点是度量性好，表达完整准确，作图简便，是工程上应用最广泛的投影图。但它缺乏立体感，需要掌握一定的投影知识才能看懂。 2）轴测投影图
轴测投影图是用平行投影法将物体连同确定其空间位置的直角坐标体系，沿不平行于任一坐标平面的方向，将其投射在单一投影面上所得的图形。轴测投影图可在一个投影面上反映出形体的长、宽、高三个向度。因此，这种投影图的特点是具有一定的立体感，缺点是作图较费时，且不能完整、唯一地表达物体的形状和大小，因此多用作辅助图样。? 3）标高投影图
标高投影图是物体在某一投影面（通常是水平投影面）上标有高度的正投影图，它是假想用一组高差相等的水平面截割山地表面，将所得不同高程的等高线投射在水平投影面上。标高投影多用来表达地形及复杂曲面。 4）透视投影图
透视投影图是用中心投影法将物体投射到单一投影面上所得到的图形。这种图的优点是形象逼真、直观性强，因此常用于设计方案的比较或展示中。缺点是作图较为复杂，且不能反映物体表面的真实形状和大小。 3．三面投影及其投影特性
（1）一般情况下根据形体的三面投影，就可确定其形状和大小，其中正面投影反映形体的长和高；水平投影反映形体的长和宽；侧面投影反映形体的宽和高。?
（2）因为三个投影表示的是同一形体，作投影图时，形体与各投影面的相对位置保持不变，展开后就有：正面投影与水平投影长度相等且对正；正面投影与侧面投影高度相等且平齐；水平投影与侧面投影宽度相等。这种关系简称为“长对正、高平齐、宽相等”，也称为“三等”规律。
（3）在投影图上能反映形体六个向度之间的关系：即正面投影反映形体左右、上下关系；水平投影反映形体左右、前后关系；侧面投影反映形体上下、前后关系。 二．基本形体的投影 1．平面体的投影
表面全部由若干个平面围成的立体称为平面体。常见的平面体有棱柱和棱锥。 1）棱柱
棱柱的各个侧棱相互平行，两底面为多边形，若其底面垂直于侧棱，则为直棱柱，否则为斜棱柱，底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱。
正六棱柱上、下底面平行于H面，水平投影反映其实形，六个棱面均垂直于H面，水平投影积聚为正六边形；前后两侧面平行于V面，正面投影反映实形，侧面投影积聚成铅垂直线段；其他四个棱面均为铅垂面，正面、侧面投影都是类似图形。
由此可得正棱柱的投影特点：在垂直于侧棱线的投影面上的投影反映底面实形（正多边形），其他投影均为矩形，且棱线的投影相互平行。 2）棱锥
棱锥的所有侧棱线都交于锥顶，侧棱面均为三角形，当底面为正多边形且锥顶与底面中心的连线垂直于底面时称为正棱锥。底面水平放置的正三棱锥的投影图，H投影中等边三角形为底面的实形，因三棱锥的三个侧面均倾斜于H面，三个同样大小的三角形为各侧面的H投影；V投影为两个全等的直角三角形组合成的等腰三角形；W投影为一个三角形，是左、右两侧面的重合投影，三角形的底边及左边分别是三棱锥底面和后侧面的重合投影，三角形的底边及左边分别是三棱锥底面和后侧面的积聚投影。
由此可得棱锥的投影特性：当底面平行于某一投影面时，在该投影面上的投影为底面的实形，内部有若干个共顶点的等腰三角形；其余投影为一个或多个三角形。 2．曲面体的投影 1）圆柱
圆柱是由一条直线绕着与之平行的轴线旋转一周而形成的，也可认为是由无数条与轴线平行且等距的直线围成。圆柱轴线垂直于H面的正圆柱，它的水平投影为圆，反映上、下底面的实形，同时也是圆柱面上所有素线的积聚投影；圆柱的其他两投影为由上、下底面的积聚投影及圆柱面上转向素线的投影围成的矩形，V投影是圆柱最左、最右素线的投影；W投影是圆柱最前、最后素线的投影。在作图时还要注意，圆柱投影要画对称线，用单点长画线表示。
2）圆锥
圆锥由一直线绕着与之相交的轴线旋转一周而形成。圆锥面上的所有素线与轴线交于一点，称为锥顶。一轴线垂直于H面的正圆锥的投影。与圆柱投影相似，圆锥的投影图上只画轮廓素线的投影及底圆的投影。
H投影为一个圆，它既是底圆反映实形的投影，又是圆锥面的投影；其V投影和W投影是两个大小相同的等腰三角形，三角形的底边是圆锥底面的积聚投影，其他两边是圆锥转向素线的投影，其中V投影是锥面最左、最右素线的投影，W投影是锥面最前、最后素线的投影。
3）圆球
圆球是圆绕其任一根直径（轴线）旋转而成的。球的三面投影都是圆，其直径、大小都相等。球的V面投影中的圆是过球心且平行于V面的子午线圆的投影；H面投影中的圆是过球心的水平赤道圆的投影；W面投影中的圆是过球心平行于W面的子午线圆的投影。这三个圆的三面投影分别是正面、水平面、侧面的外轮廓线，三个圆的另两投影积聚为直线段，长度等于球的直径，与中心线重合，一般仍用单点长画线来表示。 3．三面投影图的作图步骤
绘制形体的三面投影除了遵循“长对正、高平齐、宽相等”的投影原则外，还要注意形体各部分的左右、上下、前后位置关系，具体作图步骤如下：
（1）分析形体的形状特征，以能较全面地反映形体形状特征的一面作为V投影的方向。?
（2）布局。估计各投影所占幅面大小，根据绘图比例将图均匀布置在图纸上，先画出各图的基准线。如对称线、底边线、端面线、曲面体的轴线、中心线等。
（3）画V投影或最具特征的投影，根据“三等”关系，作出其他投影。 （4）检查无误后，擦去多余的作图线，加粗图线。 三．点的投影 1．点的三面投影
在V和H两投影面体系中加设与H和V都垂直的侧立投影面W面（简称W面），即得三投影面体系，W面与V和H面的交线分别称为投影轴OZ和OY。按前述方法求得在H面和V面上的投影a和a′之后，再过点A向W面作垂线，与之相交于a″，点a″即为点A的W面投影，于是得点A的三面投影。按规定，点的W面投影用相应的小写字母加两撇标记。
得出点在三面体系中的投影规律：
(1) 一点的正面投影和水平投影必在同一竖直投影连线上(长对正)。 (2) 一点的正面投影和侧面投影必在同一水平投影连线上(高平齐)。
(3) 一点的水平投影至OX轴的距离，等于其侧面投影至OZ轴的距离(宽相等)。 点A至W面的距离： Aa″=a′aZ=aaYH ； 点A至V面的距离： Aa′ = aaX =a″aZ ； 点A至H面的距离： Aa = a′aX = a″aYW 。
这些投影特性可概括地用“长对正，高平齐,宽相等”九个字去表达。 根据上述投影规律，只要已知点的任意两投影，即可求其第三投影。 例3-1已知一点B的V和W面投影b′和b″，求H面投影b。
解 (1)按第一条规律，过b′作OX轴的垂线，与OX轴交于点bX。
(2)按第二条规律，在所作垂线上量取bXb=bZb″得点b，即为所求。作图时，也可借助于过O所作的45°斜线Ob0，作图过程如箭头所示。
2．点的投影与坐标
研究点的坐标，也就是研究点与投影面的相对位置。可把三个投影面看做三个坐标面，三根投影轴看做三根坐标轴： 点A到W面的距离为x坐标； 点A到V面的距离为y坐标； 点A到H面的距离为z坐标。 因此，点的投影与坐标的关系为：
(1)点A的H面投影a可反映该点的x和y坐标。 (2)点A的V面投影a′可反映该点的x和z坐标。 (3)点A的W面投影a″可反映该点的y和z坐标。
空间点A若用坐标表示，可写成A (x，y，z)，此时，它的三个投影的坐标分别为a(x，y)，a′(x，z)和a″(y，z)。如已知一点A的三投影a，a′和a″，就可从图上量出该点的三个坐标；反之，如已知点A的三个坐标，就能作出该点的三面投影。 3．两点的相对位置
空间两点的相对位置是以其中某一点为基准，判别另一点相对于该点的前后、左右和上下的位置。这可利用它们在投影图中各组同面投影的相对位置或比较各组的同名坐标值来确定。
在三面投影中，规定：OX轴向左、OY轴向前、OZ轴向上为三条轴的正向。如图3-7a所示，若以点B为基准，因xa＜xb，ya＜yb，za＞zb，故知点A在点B的右、后、上方。 4．重影点及其可见性的判别
当空间两点位于同一垂直于某投影面的投射线上时，此两点在该投影面上的投影互相重合，此空间两点称为对该投影面的重影点。A和B两点在同一垂直于H面的投射线上，这时点A在点B的正上方，它们的投影a和b互相重合，故称点A和B为对H面的重影点。至于a和b两个投影的可见性，可从V面投影(或W面投影)进行判别。
因a′高于b′(或a″高于b″)，即点A在点BB之正上方，故a为可见，b为不可见。为了区别起见，凡不可见投影的字母写在后面，并加括号表示，如在图3-8b，c，d中，（b）在a之后，（d′）在c′之后，（f″）在e″之后。
四．直线的投影
按直线与投影面的相对位置可分为：一般位置直线、投影面平行线和投影面垂直线三种，后两种统称为特殊位置直线。? 1．一般位置直线
对三投影面不平行又不垂直的直线称一般位置直线(简称一般线)。
图为一般位置直线的立体图，直线和它在某一投影面上的投影所形成的夹角，称为直线对该投影面的倾角。对H面的倾角用α表示，对V和W面的倾角分别用β和γ表示。
一般线的投影特性如下：?
(1)由图看出：ab=ABcosα，a′b′=ABcosβ，a″b″=ABcosγ，而α，β和γ均介于0°与90°之间，cosα，cosβ和cosγ均小于1，故一般线的三个投影都小于实长。
(2)一般线上各点到同一投影面的距离不等，所以各投影面上的投影都倾斜于投影轴。读图时，一直线只要有两个投影是倾斜的，它一定是一般线。
(3)各投影与相应的投影轴所成的夹角，都不反映直线对各投影面的真实倾角。
2．投影面平行线 1）空间位置
只平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线，称为该投影面的平行线，它有三种情况： (1)与V面平行的直线称为正面平行线，简称正平线。
(2)与H面平行的直线称为水平面平行线，简称水平线。 (3)与W面平行的直线称为侧面平行线，简称侧平线。
2）投影特性
总而言之：投影面平行线在它所平行的投影面上的投影是倾斜的，反映实长。这个实长投影与投影轴的夹角反映该投影面平行线对相应投影面的倾角实形。其余两投影均小于实长，且平行于相应的投影轴。?3）读图
一直线如果有一个投影平行于投影轴而另有一个投影倾斜时，它必然是一条投影面平行线，平行于该倾斜投影所在的投影面。 3．投影面垂直线 1）空间位置
垂直于投影面的直线统称为投影面垂直线。垂直于一个投影面的直线必同时平行于其他两个投影面。投影面垂直线也有三种情况。
(1)与V面垂直的直线称为正面垂直线，简称正垂线。