七．立体表面的交线
假想用来截割立体的平面称为截平面。截平面与立体表面的交线称为截交线。由截平面所截得的图形称为截断面或断面，断面是截交线围成的平面图形。根据立体表面几何属性的不同，截交线可分为平面体的截交线（图a）和曲面体的截交线（图b）两类。
两立体相交，也称两立体相贯，两相交立体的表面交线称为相贯线。根据立体表面几何性质的不同，相贯两立体有三种情况：两平面立体相贯、平面立体与曲面立体相贯和两曲面立体相贯。
1．平面体的截交线
平面截割平面体产生的截交线为一个封闭的平面多边形。多边形的形状或边数由平面体上参与相交的棱线、上（下）底边的数目来决定；或由平面体上参与相交的棱面或底面的数目来决定。
截交线是截平面与立体表面的共有线，共有线由共有点确定。求截交线的实质是求截平面与立体表面的共有点和共有线。求平面体截交线的方法，可归结为先求平面体各棱线及底边与截平面的交点，然后依次连接得截交线；或者求平面体各棱面及底面与截平面的交线围成截交线。连接交点时，只有位于同一棱面上的两点才能相连。 1）棱柱的截交线
求平面体截交线的投影时，要先分析平面体未被截割前的形状、截平面与平面体的相对位置，确定截交线的形状；再分析截平面与投影面的相对位置，弄清楚截交线的投影特性；然后求作截交线。
2）棱锥的截交线
例6-3 已知正三棱锥被正垂面P截割的V投影及部分H投影，补全H投影并求W投影。
解 (1)空间及投影分析：如图所示，三棱锥底面平行于H面，后侧棱面垂直于W面，其余侧棱面为一般面。截平面P与三棱锥的三条棱线及三个侧棱面相交，截交线为一个三角形，即△ⅠⅡⅢ。截平面P是正垂面，其截交线的V投影与PV重合，按照正垂面与一般位置直线求交点的方法作图。
(2)作图（如图所示）：
①根据投影关系，量取Ys和Yb作出三棱锥的W投影；
②求交点Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ:在V投影上利用PV的积聚性直接求得交点1′2′3′。根据“高平齐”由点1′，2′和3′向右作投影连线，求出各交点的W投影1″，2″，3″。按“长对正”由点1′和3′向下作投影连线，求得1和3。点2可根据2″量取Y2求得；也可通过棱面SAB上辅助线DⅡ平行于AB求出，即过2′作辅助线d′2′∥a′b′，求出d，再作d2∥ab，交在sb上得2（用于无W投影时）。
③依次连接各点，并判别可见性：把位于同一棱面上的两点依次连接得截交线的H投影123，W投影1″2″3″。因P面将三棱锥的左、上部分截去，故截交线的H和W投影均为可见，画成实线。
例6-4 已知带缺口的正四棱锥的V投影及部分H投影(图6-7a), 补全H投影并求W投影。
解 (1)空间及投影分析：由图可知，四棱锥的缺口是由水平面P、侧平面R和正垂面Q三个平面截割而成的，而且三个截平面都是局部截割四棱锥。先求水平面P与四棱锥的截交线，其截交线为底面四边形ABCD的类似形，求出P面与棱线SA的交点Ⅰ后，可得到P面截交线（开口四边形）。同样可求正垂面Q与四棱锥的截交线，扩大Q面,求出Q面与棱线SC的交点N，可得到Q面截交线（开口四边形）。求出P面和Q面截交线后，R面截交线可自然得到（两条直线）。最后求出三个截平面两两之间的交线。
（2)作图（如图所示）：
①求P面与四棱锥的截交线。； ②求Q面与四棱锥的截交线； ③求R面与四棱锥的截交线。； ④求截平面之间的交线。；
⑤判别可见性，完成形体的投影。 2．曲面体的截交线
平面截割曲面体产生的截交线一般为封闭的平面曲线；有时为由平面曲线与直线组成的封闭平面图形；特殊情况下为一个平面多边形。
曲面体截交线上的每一点, 都是截平面与曲面体表面的共有点。求截交线时, 要先求出一系列共有点, 然后依次光滑连接相邻各点，即得曲面体截交线。求共有点时，应先求它的特殊点：如极限位置点（最高、最低、最左、最右、最前、最后点），曲面体投影轮廓线与截平面的交点，可见性分界点；再根据需要求一般点。 1）圆柱的截交线
根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同, 圆柱面的截交线有三种形状：圆、椭圆、两平行直线，如表所示。
例6-5 如图所示，圆柱被截平面P截割, 求截交线的投影和断面实形。
解 (1)空间及投影分析：从图可知，圆柱轴线垂直于W面，截平面P垂直于V面，并且与圆柱轴线斜交，截交线为一椭圆。椭圆的长轴AB平行于V面，短轴CD垂直于V面。椭圆的V投影积聚为一直线段（与PV重合），椭圆的W投影为一个圆，重
合在圆柱面的W面积聚投影（圆周）上，只需求出截交线椭圆的H投影，即求出椭圆上的共有点（特殊点和一般点），依次连接得截交线。
(2)作图：
①求特殊点，即求长、短轴的端点A和B，C和D：PV与圆柱最高、最低素线的V投影的交点a′和b′，即为长轴端点A和B的V投影，PV与圆柱最前、最后素线的V投影的交点c′(d′), 即为短轴端点C和D的V投影。据此求出长、短轴端点的H投影a和b，c和d；
②求一般点：为使作图准确，需要再求截交线上若干个一般点。如在截交线V投影上任取点1′，据此求得W投影1″和H投影1。由于椭圆是对称图形，可作出与点Ⅰ对称的点Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的三面投影；
③依次连接各点，判别可见性，并完成圆柱的投影。 ④求断面实形。。 2）圆锥的截交线
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同, 圆锥面的截交线有五种形状：圆、椭圆、抛物线、双曲线和两相交直线，如表6-2所示。
平面与圆锥面相交所得的截交线圆、椭圆、抛物线和双曲线，通称圆锥曲线。当截平面倾斜于投影面时，椭圆、抛物线和双曲线的投影，一般仍分别为椭圆、抛物线和双曲线，圆的投影一般为椭圆, 在某种特定情况下椭圆的投影可能为圆。
例6-6 已知圆锥和截平面P的投影，求截交线的三面投影。
图6-10 圆锥的截交线
解 (1)空间及投影分析：由图可知，截平面P为正垂面，P面与圆锥面的所有素线相交，截交线为椭圆。椭圆的长轴AB是P面与圆锥最左、最右素线的交点的连线，为正平线；短轴CD为过AB的中点的正垂线。截交线的H和W投影为椭圆，V投影重合在PV?上。椭圆的长轴、短轴的投影仍为椭圆投影的长轴、短轴。
(2)作图：
①作出圆锥的W投影(后面的各例题均同)；?
②求特殊点。在V投影上，PV与圆锥的V投影轮廓线的交点a′，b′，即为长轴端点A，B的V投影。A和B的H投影a和b，就是H投影椭圆的长轴；A和B的W投影a″和 b″，就是W投影椭圆的长轴。椭圆短轴CD的V投影c′(d′)积聚在a′b′的中点上。过C和D作纬圆或素线可求出C和D的H投影c和d，根据宽度Y相等求出W投影c″和d″。圆锥最前、最后素线V投影与PV交点的V投影m′和n′（即椭圆的W投影与轮廓线的切点），可在圆锥W投影轮廓线上直接求出m″和n″，再利用Y坐标求得m和n；
③求一般点。在V投影适当位置取点e′(f′)或取m′(n′)的对称点，用纬圆法(或素线法)求得它们的H投影e和f，W投影e″和f″；
④依次连接各点，并判别可见性。在H和W投影中依次光滑连接B—N—D—F—A—E—C—M—B各点的对应投影，即得椭圆的H和W投影。椭圆的H和W投影均可见，连成实线。圆锥的W投影轮廓线发生变化，最前、最后素线的M和N点以上被截割掉，不应画出。 3．两平面体的相贯线
相贯线是两立体的表面交线，又是两立体的分界线,任何两立体的相贯线都具有下列两个基本特性: (1) 相贯线是由两相贯体表面上一系列共有点(或共有线)所组成的; (2) 由于立体具有一定的范围, 所以相贯线一般都是闭合的。
当两立体相贯时, 如果甲立体上的所有棱线(或素线)全部穿过乙立体，产生两组相贯线, 称为全贯。如果两立体都有部分棱线(或素线)穿过另一立体, 产生一组相贯线, 称为互贯。
两平面立体的相贯线是闭合的空间折线或闭合的平面多边形。组成折线的每一直线段都是两相贯立体相应棱面的交线, 而折线的各个顶点则为一个立体的棱线与一个立体的交点。因此，求相贯线就是求出这些交线和交点，把它们依次相连，判别可见性。
求作相贯线的一般步骤如下:
(1)形体分析：弄清相贯两立体的表面性质及相对位置，有哪些棱线参与相交，有几个交点，全贯还是互贯，有几组(条)相贯线，大致估计相贯线的形态；
(2)求交点； (3)连接各交点；
(4)判断可见性：相贯线的可见性; 轮廓线重影部分的可见性。 连点的原则是：只有既在甲立体同一表面上又在乙立体同一表面上的两点才能连成直线(每段线都是分属两立体的两个表面的交线)。如图所示,Ⅲ和Ⅵ两点既在棱柱左棱面上，又在棱锥SBC面上,故可连线；Ⅲ和Ⅴ两点虽然都在棱柱左棱面上，但不在同一棱锥面上，故不能连线。
判断可见性的原则是：只有同时位于两立体可见表面上的交线才可见。只要一个表面不可见，交线就不可见。 4．平面体与曲面体的相贯线
平面体与曲面体表面相交所形成的相贯线，实质上是平面体各棱面与曲面体的截交线的组合,即相贯线是若干段平面曲线或若干段平面曲线和直线的组合。每一段平面曲线或直线的转折点，就是平面体的棱线与曲面体表面的交点。求平面体与曲面体的相贯线，可归结为求直线与曲面体相交及曲面体的截交线的问题。作图时，先求出转折点，再按照求曲面体截交线的方法，求出每段平面曲线或直线。 5．两曲面体的相贯线
两曲面体表面相交所得相贯线, 一般是闭合的空间曲线, 特殊情况下可能是平面曲线或直线。相贯线上的所有点都是两曲面体表面的共有点。 求相贯线时, 要先求出一系列共有点, 然后依次光滑连接相邻各点，并判别可见性, 即得曲面体相贯线。求共有点时，应先求相贯线上的特殊点，如极限位置点（最高、最低、最左、最右、最前、最后点）, 曲面体投影轮廓线上的点以及可见性分界点等；再根据需要求一般点。相贯线可见性的判别原则是: 只有同时位于两个曲面体的可见表面时, 相贯线才是可见
的, 曲面体的投影轮廓线是可见与不可见的分界。
求两曲面体相贯线的方法，最常用的有两种： （1）利用曲面的积聚投影求相贯线。 （2）利用辅助平面求相贯线。 6．两曲面体相交的特殊情况
两曲面体相交时，相贯线一般为封闭的空间曲线，在特殊情况下，相贯线可以是平面曲线或直线。
两个二次曲面(圆柱面、圆锥面)相交时，只要它们都同时外切于一个球，它们的相贯线为两条相交的平面曲线。例如当两直径相等的圆柱的轴线正交时，相贯线为两大小相等的椭圆;当两等径圆柱的轴线斜交时，相贯线为两长轴不等，但短轴相等的椭圆。