目 录
1引言 ......................................................................................................................................... 2 2泰勒级数 ................................................................................................................................. 3 2.1泰勒公式 .......................................................................................................................... 3 2.2泰勒级数 .......................................................................................................................... 3 2.3泰勒展开式 (幂级数展开式) ........................................................................................ 4 3泰勒级数的应用 ..................................................................................................................... 6 3.1利用泰勒级数将非初等函数展开为幂级数的形式 ...................................................... 6 3.2近似计算 .......................................................................................................................... 7 3.3证明不等式 .................................................................................................................... 10 3.4应用泰勒级数计算积分 ................................................................................................ 10
参考文献 .................................................................................................................................. 12
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泰勒级数及其应用
王一
（西北师范大学数学与统计学院 甘肃兰州 730070）
摘要: 本文主要介绍了泰勒级数及其应用, 泰勒级数是一种常用的数学工具, 在很多时候利用泰勒级数解题是非常方便的. 本文就是对泰勒级数及其应用的一些叙述,主要是对泰勒级数在初等函数展为幂级数、近似计算、证明不等式、计算积分等方面展开讨论.
关键词: 泰勒公式;泰勒级数;泰勒展开式;近似;不等式;积分 中图分类号: O171
Taylor series and its applications
WANG Yi
(College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University,
Lanzhou 730070, China）
Abstract: This thesis mainly introduces Taylor series and its applications. Taylor series is a kind of frequently-used mathematical tool, which makes it much more convenient to solve problems. In this thesis, Taylor series and its applications are discussed, which includes some use of Taylor series, referring to the expansion from non-elementary function to power series, approximate calculation, inequality proof, calculation of integral and so on.
Keywords: Taylor formula; Taylor series; Taylor expansion; approximate; inequality; integral
1引言
泰勒级数以在1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒来命名, 在数学分析中, 泰勒级数是利用无限项相加来表示一个函数, 这些相加的项由函数在某一点的导数求得.
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泰勒级数的相关知识不仅具有重大的理论意义, 而且具有广泛的实用价值. 它与泰勒公式有着密切的联系, 但也存在着一些实质性的区别, 因此, 在学习这部分内容时, 应该明确地掌握泰勒公式和泰勒级数的相关定义. 就泰勒级数而言, 它对于一些非线性问题来说是一个很好的解题工具. 利用它解题的主要思想是将非线性问题线性化, 即将一些函数展开成它的泰勒级数, 然后利用所展开的泰勒级数联系实际问题最终解决问题.
下面就对泰勒级数及其应用做一个简要的介绍.
2泰勒级数 2.1泰勒公式
若函数f在?a,b?上存在直至n阶的连续导函数, 在?a,b?内存在n?1阶导函数, 则对任意给定的x,x0??a,b?, 至少存在一点???x,x0?, 使得
f??(x0)(x?x0)2f(n)(x0)(x?x0)nf(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?????Rn(x). ?1?
2!n!f(n?1)(?)(x?x0)n?1则称?1?为f在x0的泰勒公式. 其中, Rn(x)?为Lagrange余
(n?1)!项.
2.2泰勒级数
若在(1)中抹去余项Rn(x), 那么在x0附近f可用(1)式右边的多项式来近似代替, 如果函数f在x?x0处存在任意阶的导数, 这时称形式为
f??(x0)(x?x0)2f(n)(x0)(x?x0)nf(x0)?f?(x0)(x?x0)?????? ?2?
2!n!的级数为函数f在x0的泰勒级数.
在实际应用中, 我们更多的是讨论函数在x0?0处的泰勒级数, 这时(2)式
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f??0?f???0?2f?n??0?nx?x???x??, 称为麦克劳林级数. 可以写作f?0??1!2！n!例1 写出下列函数的麦克劳林级数
?1? ln?1?x?,
解 因f?x??ln?1?x?, f?0??0, f?n??x????1?f?n??0????1?n?1n?1?n?1?!,
?1?x?n?n?1?!. 所以ln?1?x?的麦克劳林级数为
nx2x3x4n?1xx????????1???.
234n?2? ?1?x??.
解 因f?x???1?x??,f?0??1, 当?为正整数时利用二项式定理就可以写出它的麦克劳林级数; 当?不为正整数时, 由于
f?n??x??????1?????n?1??1?x???n,
所以f?n??0??????1?????n?1?. 于是?1?x??的麦克劳林级数为
1??x?????1?2!x2???????1?????n?1?n!xn??.□
由上述几道例题知, 一个函数f?x?只要在x0点有任意阶导数, 就有对应的泰勒级数.
2.3泰勒展开式 (幂级数展开式)
定理1?1? 设f在点x0具有任意阶导数, 那么f在区间(x0?r,x0?r)内等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是: 对一切满足不等式x?x0?r的x, 有
limRn(x)?0.
n??这里Rn(x)是f在x0处的泰勒公式余项.
根据上述的定理我们就会知道, 对于一个具有任意阶导数的函数, 它的泰勒级数是否能够收敛到函数本身, 与函数f在x0的泰勒公式余项有着密切的联系.
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下面我们给出泰勒展开式(幂级数展开式)的概念.
若函数f能在x0的某邻域上等于其泰勒级数的和函数, 则称函数f在x0的这一邻域内可以展开成泰勒级数, 并称等式
f??(x0)(x?x0)2f(n)(x0)(x?x0)nf(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)??????
2!n!的右边为f在x?x0处的泰勒展开式, 或称为幂级数展开式.
下面我们主要研究函数展开成麦克劳林级数. 因为麦克劳林级数是一种特殊的泰勒级数, 即当x0?0时的泰勒级数. 它不但研究起来更加的方便, 而且也能够体现出泰勒级数的相关性质.
例2 求下列初等函数的展开式 (1) ex; (2) sinx.
解 ?1? 因f?x??ex, f?0??1, ?n?N,f?n??x??ex,f?n??0??1,(n=1,2,…).
e?x所以f的拉个朗日余项为Rn(x)?xn?1(0???1). 下面我们对余项进行放
(n?1)!缩并求出它的极限
e?xen?1Rn?x??xn?1?x,
(n?1)!(n?1)!en?1而limx?0, 因而可以知道limRn(x)?0. 由定理1知
n??n??(n?1)!x2xn?????, x?(??,??). e?1?x?2!n!xxx?2? 因
n???f?x??sinx, f?0??0, f?n??x??sin?x??,n?1,2,?.
2??f?n?n?2m.?0, ?0???m?1
n?2m?1.???1,?同上题一样, 经验证正弦函数的拉格朗日余项的极限为0.于是
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