例9?4? 计算积分?解 通过变形
1lnx. dx 201?x1lnx11?x2?x11x2?01?x2dx??01?x2lnxdx??0lnxdx??01?x2lnxdx.
因为
?x22nlnxdx??1,lnx?xlnx, ?2?01?xn?11因此
1?2n原式??1???xlnxdx.
0n?1对于级数?x2nlnx来说, 它在?0,1?内不一致收敛, 但在?0,1?上却逐项可积,
n?1?证明如下
首先当x?1时级数通项un?1??xlnx|x?1?0. 当0?x?1时,
2n2nx?lnx为n?1??x2?等比级数, 所以和函数S?x???1?x2lnx,0?x?1, 由此可见
?0,x?1.?S?1?0??limx?1-x2ln?1-?1-x??1??S?1?.
?1?x??1?x?2故该级数非一致收敛.
x2lnxx2n?2x2lnx2n其次因为Rn?x???xlnx?及lnx??x, 其中lim222?1?x1?x1?xk?n?1x?0?2klimx?1x2lnxx2lnxx2lnx都存在有限极限, 且在?0,1?内连续, 所以在?0,1?内有2221?x1?x1?xx2lnx?G 则 界. ?G?0,s.t1?x2Rn?x??G?x2n,
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1112nG????Rxdx?Rxdx?Gxdx??0. ?0n?0n?02n?1当n??时即表明
limn??1?0Rn?x?dx?0.
从而级数可逐项求积分，原式
?????12n1111?1???2??1???xlnxdx??1??????????2222??n?10n?1?2n?1?n?0?2n?1??n?0?2n?1?n?1?2n??2?1?2n?1n?11 ???2?22n?1n?1?2?2?2.□ ??????26248n?1n? 通过上面一系列对泰勒级数及其应用的学习, 我们能够清晰的认识到泰勒
公式与泰勒级数之间的一些联系与区别, 并且在初步掌握了泰勒展开式, 以及应用泰勒级数及其相关知识解决了一些实际问题, 从而深刻的体会到了利用泰勒级数来解决某些问题是非常方便的.
参考文献
[1] 华东师范大学数学系. 数学分析下册(第三版)[M].北京: 高等教育出版社, 2001. [2] 范秋君, 沈锡文, 刘芸, 傅珉. 数学分析下册[M].北京: 北京师范学院出版,1991. [3] 周性伟, 刘立民. 数学分析下册[M].天津：南开大学出版社,1987.
[4] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法(第二版)[M].北京: 高等教育出版社,2006.
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