x3x5x2n?1n?1sinx?x???????1???, x?(??,??).□
?2n?1?!3!5!3泰勒级数的应用
3.1利用泰勒级数将非初等函数展开为幂级数的形式
一般来说, 只有一些相对简单的初等函数, 其幂级数展开式能直接从定义出发, 并根据定理1可求得. 但对于大多数一般的函数来说, 可以从已知的初等函数的泰勒展开式出发, 恰当的应用变量代换、 逐项求导、 逐项求积以及四则运算等方法, 间接地求得一般函数的幂级数展开式.
熟记一些常用初等函数的泰勒展开式对我们把其它函数展开成幂级数有很大的帮助, 也会提高解决问题的效率.
下面就利用泰勒级数来解决具体的问题.
例3 求非初等函数F?x???e?tdt的幂级数展开式.
3x0解 因为ex的泰勒级数是
x2x3xn1?x???????.
2!3!n!而当x????,???时, 它的泰勒级数收敛到它本身, 即
x2xne?1?x??????,
2!n!x以?x3来代替ex展开式中的x, 可得
e?x3?x3x6x9?1?x3n?1????????,x????,???.
1!2!3!n!n在对上式逐项求积就得到F?x?在???,???上的展开式
?1x41x71x10?1?x3n?1F?x???edt?x????????.□
01！42!73!10n!3n?1x?t3n例4?2? 将函数f?x???
xsint0tdt展为x的幂级数并求收敛半径.
6
解 因为sint的泰勒级数为
t3t5t2n?1nt???????1???.
?2n?1?!3!5!而当???t???时, 它的泰勒级数收敛到它本身, 即
t3t2n?1nsint?t??????1???, ???t???,
?2n?1?!3!所以
sintt2t4t2nn?1???????1???, ?t?0?.
?2n?1?!t3!5!由逐项积分定理得
xxt2xt4t2nnx?0tdt??0dt??03!dt??05!dt?????1??0?2n?1?!dt??
x3x5x2n?1n ?x???????1???.
?2n?1???2n?1?!3?3!5?5!显然, 收敛半径R???. □
xsint3.2近似计算
泰勒级数是解决近似计算问题的一个有力的工具. 首先选择一个合适的函数对利用泰勒级数解决近似计算问题来说是非常重要的, 所以我们应该熟记一些初等函数的泰勒级数, 其次就是利用泰勒公式余项近似的估计出某些问题的近似值.
下面就通过一些具体的例题来研究一下到底应该如何使用泰勒级数进行近似计算.
例5 求?的近似值, 计算到小数点后第三位(误差不超过10?3). 解 已知函数arctanx的麦克劳林级数是
2n?1x3x5nxarctanx?x???????1???, ?1?x?1. 352n?1令x?13???1,1?, 则有
7
?6?arctanx|x?13????1?n?1?n?1x2n?1|1 2n?1x?3n ?则
13?33??13?53??15?????1?12n?1?3?12n?1??，
n???11?1??. 1??????? ??23?n?3?35?32??2n?1??3??利用Leibniz级数的余和估计
rn?an?1?31n?12?1. 2n?1若要rn?1111?, 只需n, 由此便可得应取的项数n?5, 即至少取
100032n?110005项满足题意, 当n?5时
??23?1????19111?????3.143. □ 45189729?例6?2? 求e的近似值并估计误差. 解 已知ex的麦克劳林级数是
xnxx2xne???1???????,x?R.
n!1!2!n!n?0x?令x?1有
e??1111?1???????,
1!2!n!n?0n!1近似代替e, 则误差为 k?0k!n?这就是e的级数表示, 用它的部分和Sn???11n1e?Sn?e??????
k?0k!k?0k!k?0k!n ??1111?11???????1????? ?n?1?!?n?2?!?n?3?!?n?1?!?????n?2n?2n?3?? 8
?1?1?n?1?!??1?1?1??n?1?n?1?2???1???n?1?!?1?1?1n!n. n?1取n?10时, 即用S10近似代替数e, 即
e?1?1111!?2!???10!, 其误差不超过
110!10?136288000?136?106. □ 例7?3? 近似计算ln2并求误差.
解 已知对数函数ln?1?x?的麦克劳林级数是
ln?1?x??x?x22?????1?n?1xnn??, x???1,1?.
将上式中的x用?x代替可得
?1?x???x?x2xnln2???n??, x???1,1?.
将上面两式相减即得
ln?1?x??ln?1-x??2???x3x5x7???x?3?5?7????, 或
ln??1?x??x3x5??1?x???2???x?x73?5?7????, x???1,1?. ?令x?12n?1??-1,1?,n?N?, 有 1?11?x2n?11?x??n?11?1n. 2n?1将x?12n?1带入?3?中可得 lnn?1n?2??111????2n?13?2n?1?3?5?2n?1?5????, ?或
9
?3? ln?1?n??lnn?2????11. ?4? ????3??2n?13?2n?1??令n?1, 已知ln1?0, 由级数?4?得
11?1?ln2?2??????， 3533?35?3??只计算上式前4项部分和, 即有
111??1ln2?2?????0.69313. 357?33?35?37?3??其误差不超过
11?1??1?5. □ 2?????2????7?10???9119119?3?9?311?3??9?3?3.3证明不等式
泰勒级数是将函数展开成幂级数的形式, 可以应用于证明不等式. 例8 证明不等式ex?e?x?2e,x????,???. 证明 因为
x22ex?e?x而
x2n?x2nx, 2e2?2?, ?2???!!n?02n!n?0?2n??2x2nx2n, ??2n?!?2n?!!故
ex?e?x?2e.□
x223.4应用泰勒级数计算积分
对于一些复杂的积分直接计算很难求出结果, 有时候利用泰勒级数能给某一类复杂积分的计算带来一些转机, 适当的将被积函数中的某一个或某几个函数展开成它的泰勒级数, 可以使原本复杂的问题简单化.
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