第九讲
工程问题（一）
知识要点 工程问题又称工作问题，是分数应用题的一个特例。与整数
的工作问题一样，都是研究工作总量、工作效率和工作时间之间的关系。所不同的是，工作总量与工作效率不是具体数，而是用抽象的分率表示，一般用单位“l”表示工作总量，工作效率则用完成总量所需时间的倒数来表示。其基本关系式为：
工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作效率=工作时间 工作总量÷工作时间=工作效率 工作效率和×合干时间=工作总量 工作总量÷工作效率和=合干时间 工作总量÷合干时间=工作效率和 其他常用数量关系：工作效率和=1÷合干时间
工作总量-已干工作量=剩余工作量
典型例题 例1．有一批零件，由师傅独做需14天完成，如果和徒弟合做10
天可以完成。如果徒弟独做，需多少天才能完成任务?
【思路分析】这个题是求徒弟的工作时间。总工作量看成“l”，将徒弟的工作效率求出，就可以求出他的工作时间。我们可以求出师傅的工作效率，也可以求出师徒合作的工作效率，徒弟的工作效率也 就可以求出了。
1 解：师傅的工作效率：
141 师徒合作的工作效率：
10111徒弟的工作效率：-=
1014351 徒弟的工作时间：l÷=35(天)
35 答：徒弟35天能独立完成。
练一练 1
一项工程，甲队单独干，8天完成；乙队单独干，10天完成。两队先合l天，剩下的由甲队来干，还需多少天干完?
11例2．一份稿件，甲4小时抄完它的，乙3小时抄完它的，这
54份稿件若由甲、乙二人合抄，需几小时抄完?
【思路分析】先把甲、乙的工作效率求出，就可以求出合作工作效率，然后求合作时间。
111 解：甲4小时抄甲1小时抄； 乙3小时抄，乙1小时抄
52041。 121122?? 合作的工作时间：1÷=7.5(小时) 合抄1小时：
20121515答：二人合抄7.5小时可以抄完。
练一练2
一项工程，由甲、乙两个工程队合作要20天完成，由甲工程队单独做要用30天；现在先由两队合作4天，余下的工程由乙队单独做，还要多少天才能完成?
例3．一项工程，甲独做需12小时，乙独做需18小时，若甲先做1小时，然后乙接替甲做l小时，再由甲接替乙做1小时??两人如此交替工作，完成任务共用多少小时?
111 【思路分析】甲乙合干完整个工程的时间为：1?(?)?7（小
12185时）
111 所以甲乙各自独立工作7小时后，还剩：1-(?)?7? 的工作
12183611111?（小时），所以，完成任务共用7×2+=14量，轮甲做还需?3612333（小时）
1 答：完成任务时共用14小时
3练一练3
一件工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成，如果按甲、乙、甲、乙??的顺序交替工作，每次一小时，那么需要多少时间完成?
例4．生产一批零件，单独完成，甲需要10小时，乙需要l 5小时，丙需要20小时。现由三人合作，中途甲因事停工几小时，结果6小时才将工作完成。问甲停工几小时?
【思路分析】假设甲不休息，三人都做了6小时，这样所干的工作总量就会超过“1”，而超出的工作总量就是甲在停工时干的，用多的工作量÷甲的工作量=甲停工的时间
1111解法一：[(??)×6-1]÷ =3(小时)
15102010113解法二： 甲干的工作量：1-（?)?6?
15201031 甲的工作时间：÷=3(小时)
1010 甲停工的时间：6－3=3(小时)
答：甲停工3小时。
用假设法求超过的工作量，找出对应的原因，从而求出停工时间
练一练4
某筑路队要修一段高速公路，甲队独修20天完工，乙队独修30天完工。现在两队合修，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天，一共用了16天完成。那么乙队休息了多少天?（高新一中，交大附中试题）
1例5．一件工作，甲干3天，乙干5天可完成；甲干5天，乙干3
21天可完成。问：甲、乙合干需几天完成?
3【思路分析】在解决工程问题时，一般的思路都是要分别求出个人的工作效率，然后再进行计算，但是，本题中，如果从条件入手，分别
求出甲、乙两人的工作效率比较复杂。如果把“甲干3天，乙干5天可
11完成，甲干5天，乙干3天可完成” 合并起来，可以得到一个新的
23115条件“甲干8天、乙干8天可以完成这项工作的（?)?，也就是
2365甲、乙合干8天可以完成，这样就可以求出甲、乙的工作效率之和。
6115解 甲、乙合干8天可以完成工作总量的+=，甲、乙两人的
236555工作效率之和为÷8=，合作完成这项工作就需要1÷=9.6
64848（天）
合并与转化，在应用题中是非常多见的，尤其在一些条件比较复杂或隐蔽的题目中使用较多。合并条件、分析条件、转化问题．用相关量代替，把隐蔽的条件找出来，将隐藏的问题各个击破，最后解决问题。
练一练6
甲工作3天，乙工作5天，完成总工作量的作3天，完成总工作量的
例6．一件工作，甲、乙合作6天完成；乙、丙合作10天完成；甲、丙合作3天，乙再做12天也可以完成。乙独做多少天完成?
【思路分析】这道题目的条件十分不明晰，根据这些条件解决问题似乎无从下手。题目中给出的都是两队的工作效率之和，还有更复杂的三队协同作业。在这里，要充分运用题目的有关联的条件，将甲、乙合作，乙、丙合作往甲、丙合作这个条件上“靠”，将甲、乙合作与乙、丙合作的天数改为3天，以此为突破口，解决这个问题。
解 “一件工作，甲、乙合作6天完成；乙、丙合作10天完成”可
11以求出甲、乙的工作效率之和为，乙、丙的工作效率之和，那么，
610334?，甲、乙合作3天，乙、丙再合作3天，可完成这件工作的?6105这个条件可以看作是“甲、丙合作3天，乙再单独做了6天，
4 可以完成这项工作的”。由题意知，剩下的乙干完还需12-6=6
52。甲工作5天，乙工33，求乙独作所需时间。 44（天），所以，乙独做需要6÷（1-）=30（天）。
5 练一练7
一项工程，甲、乙二人合作5天完成，乙、丙二人合作4天完成，乙先做6天，剩下由甲、丙合作2天完成。若乙单独做，完成工程需要多少天?
1例7．甲乙丙三人合修一堵围墙。甲乙合修6天完成了，乙丙合
31修2天完成了余下工程的，剩下的再由甲乙丙三人合修5天完成。共
4领得报酬180元，按工作量分配工资，甲乙丙各得多少?
【思路分析】本题的关键是求出甲乙丙三个人各自的工作效率。再根据他们各自的工效与工作天数求出各自的工作量，再按比例进行分配。
11解：甲乙工效和：÷6=
318111 乙丙工效和：(1-)×?2=
3124111 甲乙丙三人工效和：(1-??2)?5?
312101111 甲工作量：(?)?
10126011 甲工资：180×=33(元)
601114 丙工作量：(?)?7?
10184514 丙工资：180×=56(元)
45 乙工资：180-33-56=9l(元)
答：甲工资是33元．乙工资是91元，丙工资时56元。
能力训练 A级