遂宁市高中2019届二诊考试
数学（理科）试题参考答案及评分意见
一、选择题（5×10=50分）
题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 A 5 B 6 A 7 D 8 C 9 D 10 B 二、填空题（5?5=26分）
11．－20 12．8 13．
2 14．6 15．②③④ 3?y?kx?m?14.根据题意作出图形如图所示，设直线PQ的方程为y?kx?m(k?0,m?0)，由?x2得y2?1??8?9(8?9k2)x2?18kmx?9m2?72?0??(18km)2?4(8?9k2)(9m2?72)?288(9k2?m2?8)?0
设
，有
P(x1,y1)，
Q(x2,y2)，则
?18kmx1?x2?8?9k22，
9m2?72x1x2?8?9k2，∴
PQ?1?kx1?x222?1?k2(x1?x2)?4x1x2?1?k2?18km29m2?72()?4?8?9k28?9k2?1?k4?9?8(9k2?m2?8)m22PQ。∵直线与圆相切，∴?22，即x?y?8222(8?9k)1?k，
∴
m?8(1?k2)221PQ??6km8?9k2，∵
xxx12PF2?(x1?2)?y?(x1?1)?8(1?)?(1?3)2，0?x1?3，∴PF2?3?1，
3392同理QF2?3?x2x?x26km6km6km?6???6 ?，∴PF2?QF2?PQ?6?1222338?9k8?9k8?9k因此，△PF2Q的周长是定值6.
·6·
法二：设
P(x1,y1)，
Q(x2,y2)，则
x12y12??198，
xxx12PF2?(x1?2)?y?(x1?1)?8(1?)?(1?3)2，0?x1?3，∴PF2?3?1，
3392212又M是
2圆
2O的切
21点，
21连接OP，OM，，
∴∴
PM?OP?OM?x?y?821x12x?8(1?)?89?
1x13
11PF2?PM?3?x1?x1?3，同理QF2?QM?3，∴PF2?QF2?PQ?3?3?6，因
33此，△PF2Q的周长是定值6.
三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．（本小题满分12分）
a2?c2?b21??，所以B?。…………2分 解：（1）在△ABC中，因为cosB?2ac23在△ABC中，因为2b?3c，由正弦定理可得2sinB?3sinC，
所以sinC?2?2??5?2???，0?C?，C?，故A?…………6分
3341224（2）由（1）得f(x)?1?cos(2x??3)?cos2x
13?1?cos2x?sin2x?cos2x
2231sin2x?cos2x 227??1?sin(2x?) ……………9分
6?1?·7·
7??5???2k??(k?Z)，得k???x?k??(k?Z)
262635??,k??](k?Z) ……………12分 即函数f(x)的单调递增区间为[k??63令2k????2x?17．（本小题满分12分）
解：（1）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A，则
12C5C45P(A)?310?，
C1591?15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为
45. ……………4分 9151?，………5分 153（2）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率P(B)??可能取0，1，2，3. ……………6分 81?4?1?11? ，P(??1)?C3则P(??0)?C?1??????1???，
3?3?9?3?270332?1?P(??2)?C32????3?其分布列如下：
21?1?2，3?1?．……………10分 1??P(??3)?C?3?????3?9?3?273? 0 1 2 3 4281 9927278421?1??2??3??1. ……………12分 所以E??0?279927P 18．（本小题满分12分）
解：（1）∵底面ABCD是平行四边形，AD?AB?2，AB?AD?0，∴底面ABCD是边长为2
的正方形，取AD的中点G，连接HE，HG，GC，根据题意得HG=EC=1，且HG∥EC∥PD，则四边形EHGC是平行四边形 ……………3分
所以HE∥GC，HE?平面ABCD，GC?平面ABCD，故HE∥平面ABCD
……………5分
（2）法一：如图，取PB的中点M，连接AC，DB交于点F，连接ME，MF，作FK⊥PB于点
K，容易得到∠AKF是二面角A-PB-D的平面角 ……………7分
·8·
AF?16AC?2，Rt?PDB～Rt?FKB，易得FK?， 23AF??3，所以?AKF? ……………8分 KF31MF?EC，由于点M是PB的中点，所以MF是△PDB的中位线，MF∥PD，且MF?PD，
2从而tan?AKF?且MF∥EC，故四边形MFCE是平行四边形，则ME∥AC，又AC⊥平面PDB，则ME⊥平面PDB，ME?平面PBE，所以平面PBE⊥平面PDB，所以二面角A-PB-E的大小就是二面角A-PB-D的大小与直二面角D-PB-E的大小之和
……………11分
故二面角A?PB?E的大小为
?3??2?5? ……………12分 6法二：由（1）知，DA，DC，DP两两互相垂直，建立空间直角坐标系D?xyz如图所示，设PA的中点为N，连接DN，则D（0,0,0），A(2,0,0)，B（2,2,0），E（0,2,1），P（0,0,2），N（1,0,1），易知DN⊥PA，DN⊥AB，所以DN⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为
DN?n?(1,0,1) ……………7分
??m?BE?0设平面PBE的法向量为m?(x,y,z)，因为BE?(?2,01)，BP?(?2,?2,2)，由???m?BP?0?2x?z得?，取z?2，则x?1，y?1，所以m?(1,1,2)为平面PBE的一个法向?x?y?z量。 ……………9分 所以cos?m,n??m?nm?n?32?6?3 2从图形可知，二面角A-PB-E是钝角，所以二面角A-PB-E的大小为19．（本小题满分12分）
解：（1）设{an}的公比为q，则由2b2?b1?b3有
5?……12分 62a1q?a1?1?a1q2?a1q2?2a1q?a1?1?0 ??4a12?4a1(a1?1)?4a1?0
故方程有两个不同的实根，由{an}唯一可知方程必有一根为0，代入方程得a1?1
·9·
…………3分
从而q?2
?an?2n?1，b1?a1?1?0,b2?a2?2?bn?0?(n?1)?2?2n?2………6分
（2）由（1）知anbn?(2n?2)2n?1?(n?1)2n则
Tn?a1b1?a2b2?a3b3?L?anbn
?0?21?1?22?2?23?L(n-1)?2n
2Tn?0?22?1?23?2?24?L?(n?2)2n?(n?1)?2n?1??Tn?2?2?2?L?2?(n?1)2234nn?14(1?2n?1)??(n?1)2n?1?(2?n)2n?1?4
1?2?Tn?(n?2)2n?1?4 ……………12分
20．（本小题满分13分） 解（1）由题意知
p?1?p?2?x2?4y ……………4分 222x3x12x2（2）令A(x1,),B(x2,),C(x3,)，不妨设直线AB与y轴交于点D(0,yD)
4442x2x12x12?yD?444?y??x1x2 ??Dx2?x10?x14又因为FA?FB?FC?0
22x3x12x2??x1?x2?x3444?1 ??0,33从而x1?x2??x3,x1?x2?12?x3
222?2x1x2?(x1?x2)2?(x12?x2)?2x3?12?x1x2?x3?6
2221S?ABC?3S?ABF?3?1?yDx2?x1
29x1x222922222S??(1?)(x?x?2xx)?(4?x3?6)2(12?x3?2x3?12) ABC12124464·10·